lin mol sur les logarithmes des nombres négatifs

Dans la formule e* 1 -l-=.cosx-\- \/ — 1 . sin x (1)

on pose x—Vmn, ni élant entier; il vient

(2) e 2mxi-i — l

De celte équation on a conclu que, dans le système dont la

base est e , l’unité a pour logarithme l’expression 2m7il // — 1 , quel que soit le nombre entier m. Il est clair que le mot logarithme n’a pas ici l’acception algébrique ordinaire; car si x est réel on a une idée très-nette de e', tandis qu’une puissance à * exposant imaginaire ne saurait être qu’un symbole de convention. L’équation (1) elle-même n’a un sens que comme exprimant sous forme abrégée certaines relations.

Il en est de même de L’équation (2) qui donne

2 3 m 3 Ti 3 .f / — 1

1 = 1 -\-2ni7iy' — 1 — ■

et se décompose dans les deux suivantes 2 , m , 7l 1 2 4 m% 4 2 t ’m'’7i 0

0 = 2myi —

in h

Om)' ,

2 3 /n 5 jr 5 r ' 2.3. 4.5

(2 m Tl ) 4

— etc..

etc..

Posant dans l’équation (l),.r = (2/i -j- — 1, on obtient

d'où l’on a conclu que — la une infinité de logarithmes tous imaginaires.

Mais pour être en droit de regarder cette conclusion comme rigoureuse, il faudrait 1" donner une définition bien nette de ce qu’on entend en général par le logarithme d’un symbole négatif; 2" prouver en partant de là que — 1 n’a pas d’autres

logarithmes que (2«— |— 1 — 1. Or c’est ce qui n’a pas été fait.

Je le répète, la formule (1) qui sert ici de point de départ n’est rien moins qu’une relation d’une vérité absolue. Elle est déduite du développement de e ' qui est prouvé pour des valeurs réelles de a;, et ne saurait l’être pour des valeurs imaginaires; les conséquences qu’on peut en déduire doivent donc être vérifiées par d’autres voies, si on veut qu’elles soient rigoureuses. Que si par logarithme d’un nombre négatif — a’, on

entend une expression de la forme a-\- — 1, propre à vé-

rifier l’équation e'~ — a*, je dis que le logarithme de — a* est le mêmequecelui de-f-a\ Giron a e* = — ^ e/soit a'‘:(-\-V' e')z=k d’où a'—kyy'e, et soit k—e T ; on aura

« s Xe'= — y' exk— — a’ = e* +r .