CHAPITRE PREMIER
Ainsi l’équation est satisfaite par
Voilà des conséquences immédiates de la définition de log( — a’) et des règles du calcul des symboles négatifs, règles que j’ai établies en toute rigueur dans mon Algèbre.
Il y a plus : on peut retrouver arithmétiquement les logarithmes des nombres négatifs; car ces derniers nombres se présentent tout aussi bien que les nombres absolus, dans la progression géométrique qui répond à la progression arithmétique des logarithmes.
49. Dans une équation à deux variables, J\x, y) = 0 ,y est une fonction de x; si donc on considère un intervalle" où y est continu, il est certain 1“ qu’à un accroissement infiniment petit /jx—i, attribué à x, répondra un accroissement infiniment
dy
petit df, de y; 2' que le rapport — se décompose en deux
/JX
parties dont l’une est généralement finie, et l’autre infiniment
dy
petite. La première de ces parties est le ; pour la trouver, il '
faut considérer l’équation
f{x-\-dx , y- f- dy) = 0.
et comme dx, dy sont infiniment petits du premier ordre nous supprimerons les termes d’ordres plus élevés.
df(x, y)
Or f(x-\-Jx, ÿ)=f(x, y)- \-/dy — a u premier ordre près; puis *
0 =f(x~j-dx , y-hdy) =f{x , y-\rdy) -fc- .
Or ’d - est une fonction dey, qui varie infiniment peu, dx
si r varie de même; donc au premier ordre près, le dernier'
terme de l’équation précédente est égal à dx — — ; on a donc
d.f(x,y) . d.flx,y )
O =fïx, y) + dy +- dx -^21
dx
24 PRINCIPES DK l’analyse INFINITÉSIMALE.
et comme f(x, y) — O , on aura o =.1r i - A ‘-’ r ' 1
dx
Mais celle équation n’est pas encore exacte; car Ay n’est pas un infiniment petit absolu du premier ordre (n° 37);
Ay=. — . Ax- 1 - infiniment petit d’ordre supérieur; il faut donc
remplacer Ay par — . Ax , et l’on aura l’équation rigoureuse dx
dx dy dx
ou if- . dy -+- <l f . dx — II.
dy ' dx
On établira d’une manière analogue les équations différentielles des ordres supérieurs. (Voyez les Traités de calcul différentiel.)
§ 5. Fonctions de plusieurs variables indépendantes.
60. Si l’on a une fonction de plusieurs variables indépendantes x , y, u , t...., soit z cette fonction z — F(z > ) s Ri t >....)
on pourra faire varier séparément chacune des quantités
x, y, u, t , ce qui introduit dans le calcul autant de sys-
tèmctf d’infiniment petits différents; on pourra établir entre les bases de ces systèmes telle relation ou dépendance qu’on voudra. Si l’on suppose que ces bases soient de même ordre, on arrivera aux différentielles totales, sinon on sera conduit aux différentielles partielles.
