CALCUL INTÉGRAL

§ I. Notions fondamentales.

51. Théorème. Soit fx uni; fonction continue entre les limites a et A^>a; soit divisé l’intervalle A — a en parties infiniment petites égales à tlx, et au nombre de 11 ; si l’on pose

a-\-dx~a t , a,-i~dx = a,, etc a„ 1 +'da:=A,

je dis que la somme

fa,dx-\-fa,.dx -\-fa, . Ac ■+•... . dx, (que je n ommerai S) se décomposera généralement en deux parties, l’une finie absolue, l’autre infiniment petite.

Supposons que dans l’intervalle A — a, la fonction fx soit constamment ou croissante, ou décroissante; supposons la de plus positive. La moyenne de /«+/«. +/a, + est

supérieure à la plus petite valeur de fx de a à A, et inférieure à la plus grande, et cumme/r, qui est continue entre « et A , peut prendre toutes les valeurs comprises entre ces deux valeurs extrêmes , on peut représenter cette moyenne par fit , u étant compris entre a et A; de là

, fu-\-fa,-\-....-\-fa„— l — n.fu puis S = ndx ,fuz=.{K—a)fu

ce qui prouve d’abord que S est fini.

Cela posé, je dis que « n augmente indéfiniment. (A — à)fu ne variera que infiniment peu.

En effet, supposons que fx soit croissant de a à A, et divisons chacun des n intervalles partiels dx , en n! parties égales

à — ; la somme des valeurs de fx X qui répondent à ce

premier intervalle sera

dx \ 2dx\

fa . -+-f(a +

PRINCIPES DE l’analyse INFINITÉSIMALE.

Or, celle somme esl égale au produit de dx par la moyenne des quantités qui sont entre les accolades, moyenne qui diffère infiniment peu de fa, et qu’on peut, par suite, représenter par fa-\-u, a étant infiniment petit; de sorte que la somme dx *

des valeurs de fx. — dans ce premier intervalle est dx ( fa-\-a ) : de même dans le second intervalle partiel, on aura dx{fa,- l-a.) ;

dix .

Ainsi la somme totale de toutes les valeurs de fx.— sera

dx(fa -+- (a -J-

:= S infiniment petit.

Car la moyenne de a, a,, .... est infiniment petite, et (a -ha, -+- .... -+- a„,)dx == ndx x la moyenne = (A — a) X la moyenne.

On voit donc que si au lieu de n divisions , on en suppose nn’ dans A — a, il n’en résulte pour S qu’une variation infiniment petite.

Que si on suppose que le nombre des divisions devienne n-\~k, on nommera S' la valeur de la somme S qui répond à ce cas. S" la valeur qui répond à n(n-\-k) divisions. D’après ce qui précède , n-\-h étant multiple de n. S" — S esl infiniment petit ; de même S" —S' ; donc il est de même d e S" — S — (S” — S') =S' — S.

Donc enfin, si n augmente d’une manière quelconque, S ne variera que infiniment peu. Donc S ou (A — d)fx se compose d’une partie finie, plus une partie infiniment petite.

Ce qui a été dit pour un intervalle qù fx varie dans le même sens et reste positif, s’applique à tout autre intervalle pareil et par suite à une série quelconque de valeurs de x où fx est continue.

52. La partie finie absolue qui se trouve dans S s’appelle l ’ intégrale définie defx.dx, et se désigne comme on sait par

Celte intégrale dépend de a et de A; si l’on y remplace A