CHAPITRE

par x on aura une nouvelle fonction de x que je désigne par F.r; dès lors on écrit

(1) F x=Jfx.dx

= [ /a +/a , -h .... -f -/(x — (lx) | dx Remplaçant x par jM -dx , on a

F(jE-t-dr) — \fa-\-fa, -f- ■■■•f'x — dx)-\-fx]dx d’où F (x -f- dx) — F x—fx.dx

et , si Fa. 1 est continue , dVxxzfx . dx.

Or Vx s’appelle l’intégrale indéfinie, et on voit que c’est une fonction telle, que sa dérivée est égale à fx. Ordinairement on écrit l’équation (1) sous la forme

Fx

= Cfx.dx.

53. Si deux fonctions de x ont la même différentielle , la différence de ces deux fonctions est indépendante de x.

En effet, soient/r et fx-\-(px deux fonctions qui ont la même différentielle, on aura fx—fx -f- (p'x

d’où (p'x— 0. Mais si (p'x est nulle, l’intégrale définie (p'x .dx

est nulle; elle est donc indépendante de À ; donc l’intégrale indéfinie (px est indépendante de x.

Autrement : On a ^ ?' — 2? =: (p'x- f- infiniment petit (1)

= infiniment petit.

Mais si (px n’est pas indépendant de x, ce résultat est impossible (n° 38) donc, etc.

L’équation (1) exige que (px soit continue, ce qui a toujours lieu si (px n’est pas imaginaire; si on le supposait imaginaire, de

la forme (p,x-±-(p,x . ^ — 1 , on trouverait que (p,x et (p,x sont indépendants de x.

Il suit de là que quelle que soit la limite \ Jfxdx sera

PRINCIPES DK l’analyse INFINI TÉ S! \1 4 LE.

toujours la môme fonction de A, et que ffxdx n’a qu’une seule et même détermination.

54. L'intégrale définie à / fxdx est la différence F/S — Fa des

valeurs que prend l’intégrale indéfinie, aux deux limites (j , a. En effet , l’intégrale indéfinie représente la limite de la somme dx(fa-+fa,+ .... -\-f(x — dx) ) , a étant arbitraire.

Donc T a — dx{Ja-\-fa infiniment petit.

F li=dx[fa+fa, dx))-f- infiniment petit, par suite F/9— Fa=d.r[/(a — dx)-\~fa-h....-hf(fi — <9x)j-+-inf. p.

= dx [fa ■+■ .... -hf(ft—dx)] H- infiniment petit.

= Jfxdx-i - infiniment petit.

oc *

et (n° 8) F/9 — F a=.Jfxdx.