CHAPITRE II
En effet, celle somme est égale à
dx m ~'
la quantité entre parenthèses est finie, donc, etc.
58. Dans ce qui a élé dit depuis le n° 51, on peut supposer quedr, au lieu d’être constant, varie suivant une loi donnée; ainsi on peut supposer que x est fonction d’une variable v , dont la différentielle est constante; on pose à cet effet x—Wo, d’où dx— W'v.dv, et fx.dx prend la forme fx. Wv. Je, ou %v.dv. Dès lors S est la somme des valeurs que prend %v.dv pour des valeurs de v qui croissent suivant une progression arithmétique dont la raison est do.
§ 2. Applications géométriques.
69. Rectifications. Pour calculer la longueur d’un arc de courbe, partagez le en parties infiniment petites du premier ordre; soit/#, tir -f-« l’expression générale de l'un de ces éléments , a étant d’un ordre supérieur au premier; la longueur de l’arc sera la somme des valeurs defx . dx-+-a; or, a ne donnera dans cette somme qu’un infiniment petit (n° 35) ; la somme des valeurs de fx.dx sera, aux quantités finies près, égale à Jfx dx prises entre certaines limites; donc l’arc est égal à J'fxdx , entre ces mêmes limites.
60. Quadratures sur le plan. Même raisonnement que pour les rectifications.
61. Quadratures dans l’espace. La question est ici de calculer sur une surface donnée z=F(x, y), l’aire terminée par uni: courbe dont la projection sur le plan xy est donnée. Soit (fig. 1) ADBD' cette projection, (p(x,y) = 0 son équation. Soient AA', BB 1 deux parallèles aux x , comprenant entre elles cette courbe; on mènera entre celles-là une série de parallèles aux x, parallèles équidistantes et infiniment rapprochées. Les aires comprises entre ADBD' et ces parallèles sont les projections d’autant de zones de l’aire cherchée. Considérant l’une quelconque de ces zones, et sa projection CCD’D, on divisera celle-
[~ Jfx.dx-F- infiniment petit j
ci par des parallèles aux y en éléments s, , s,, s 3 ....; ces nouvelles parallèles sont équidistantes et infiniment rapprochées; les aires s , , s,, etc. , sont les projections de portions infiniment petites du second ordre prises sur la surface donnée , et que je nomme S, , S,, etc. Pour avoir la somme S, on sait
qu’au second ordre près l’un quelconque des éléments S, , S,....
est représenté par dx dy j/ 1 -f-
dz 1 dz ’
dx'
- — - expression que, au
moyen de l’équation de la surface, on met sous la forme f(x , y) . dxdy , où dx est la valeur commune des divisions de CC' ; dy celle de CE , etc. Soient x , , x„ les abeisses de C et C', y l’ordonnée CF ; a, , .... «„ des infiniment petits du troisième ordre , on a
S,-+-S,-f- ....=dx\J(x, , y)-yf(x, , y)-F • ~hf{x „ , , y) ]dy c, + K, -F ....—F
La première ligne est, au premier ordre près, la valeur de
l’intégrale définie dyjf(x, y)dx , où y est constant; la seconde
est un infiniment petit du second ordre (n" 33). La zone projetée en CDD'C’, est d’ailleurs égale à S,-FS,-F—* moins les deux infiniment petits du second ordre projetés en DCE, D'C’E 1 ; donc nommant Z cette zone, on a, au premier ordre près
r) dx.
Cette. intégrale sera une fonction de x,, x„ et y. Or, d’une zone à l’autre x,, i, varient, c’est-à-dire que x,, ,r„ sont des fonctions dey; en effet, l’équation œ(r' y) = 0 doit donner pour yrrCF, les deux valeurs ar=0F’z=.r„ et ■r:=0F:=:.r I . Par conséquent l’équation (p(x, y) = 0 donnera deux valeurs de x en fonction dey; l’une x,—f,y, l’autre x„—f,y; on remplacera x,, x„ par ces valeurs dans l’expression de Z, qui sera alors de la forme
Zz=F , y. dy-F un infinim. petit du second ordre que je nomme fi. Nommons maintenant y,, y,, etc., les valeurs dey qui répon-
ClUPITRfc II.
dent au* zones successives dont la première est projetée en CDD'C'; nommons Z, , Z, .... Z m ces zones ; on aura Z, +Z,-f- .... Z m =tfy‘(F,/,-l-F,^*, ....
H — — J— /λ H — — +— /În, —
La première partie du second même est, au* quantités finies
/ ■ y ra
Fj. dy; la seconde partie est infiniment petite; y, , y„ sont
les ordonnées des points C et I ; à leur place on peut prendre celles de A et B , que je nomme y', y " .... Cela ne change qu’infiniment peu la valeur de l’intégrale définie; enfin le premier membre ne comprend pas les portions de zones projetées en ACC', BU', on peut les y ajouter, et l’on a, entre quantités finies absolues , l’équation rigoureuse
Aire cherchée =
62. Pour les cubalures la marche du raisonnement est à peu près la même.
Il y a des cas où l’on est conduit à décomposer des volumes en parties infiniment petites du troisième ordre; dans ce cas on peut négliger les quantités des ordres supérieurs; et en général si l’on a à intégrer n fois de suite par rapport à des variables x, , x,,....x a , on peut négliger tous les termes des ordres supérieurs à l’ordre n. Toutes les fois que l’on arrivera à une équation dont tous les ternies sont absolument du même ordre, celte équation sera parfaitement rigoureuse.
63. Remarque générale. Dans Pinfiniment petit la droite se confond avec la courbe, quant à la grandeur et à la position, le plan avec la surface courbe. Car les différences tombent toujours sur des infiniment petits négligeables d’après le n” 33. Ainsi le calcul infinitésimal ramène la considération des lignes et des surfaces courbes à celle des polygones et des polyèdres , et c’est là une des principales causes de la réussite de ce calcul dans les applications géométriques.
PRINCIPSS l)1i I.'aNALYSE INl'INITKSIMAUK.
