CHAPITRE III

D’un autre côté

dy=fx . dx -f - atp'x H dx -f- a ,(p ' x . dx -f- ....

Remplaçante par x-\-dx, a par a-+-da, etc., et prenant les termes du second ordre, on aura la variation de dy, c’est-à-dire (en posant ensuite a=a,=.... 0)

âdy —f'x . dxdx -\-fxd . dx -f-

-f- (f'x . dxâa -+-<p,'x. dxda ,4-....

Ici on remarquera que le terme acp'x.dx donne proprement <i(p"x .dx .dx -{-/up'x . dâx -f- (f’xdxda Mais ceci se réduit à (f'x.dx.ôa puisque o=0.

Or, je dis que ddx=d .dx.

En effet, dx est une fonction arbitraire de x, que je représente par Wx....dx— *Px, de sorte que ddx— Wx.dx.

D’un autre côté à . dx est la variation que subit dx quand x devient x~y Wx, c’est donc d(x~ f- Wx) — dx— Wx.dx. Par suite ddx=ddx. Comparant les valeurs de ddy et âdy, on les trouvera égales entre elles. Donc pour toute fonction de x, on a ddy=d.dy. On peut donc intervertir d et d.

D’où par différentiation d 1 dy—d.d(dy)=zdd(dy)=dd , y et en général d.''dy—dd n y.