CHAPITRE III
la somme des termes affectés des variations dx , dy, dp,, — dp,,, etc. , sera évidemment
f/F . f/F f/F „ JF
+ dr + d/ ,,
Je la nomme «ÎF ; au moyen des relations du n° 67 , cette expression devient
dF
t JF
dx
fi»’ ‘ dp, ’ dx" ' dp a '
„ dF , f/F , f/F ,
Comme dF — — - d» + — dv • + .... + -j— . dp a dx dy dp u
= dx \jTx
il vient dF = . </F . dx w ^ + .... ^ .
dx dy ' dx" dp n
Passons aux applications que nous présenterons sous forme géométrique.
69. Deux points A, B (fig. 2) étant donnés sur un plan, quelle est parmi toutes les courbes qui y passent , celle pour la-
r*" dy d"y\
r x dy d"y\
quelle une intégrale définie I F (x, y, — , .... — )dx prend
J x 1 dx dx°/
une
valeur maximum ou minimum, x’ , x " , étant les abscisses des
points A, B , et toutes les courbes que l’on compare entre elles,
dy dy a 1 A
avant les valeurs de .... -p , communes d’un côté en A,
' dx dx"~' ’
de l’autre en B.
Soit ACB la courbe cherchée, y—fx son équation. C’est la nature de fx qui est l’inconnue de la question. Supposons qu’il s’agisse d’un maximum. Puisque l’intégrale donnée doit être, pour la courbe ACB, plus grande que pour toute autre, quelque rapprochée qu’elle soit de ACB, menons une seconde courbe ADB dont chaque ordonnée DE diffère infiniment peu de l’ordonnée correspondante CE de la courbe
ACB. Il faudra que pour la courbe ADB l’intégrale ■ dx soit
moindre que pour ACB. Or, pour déduire ADB de ACB, il suffit d’ajouter à chaque ordonnée de ACB un infiniment petit CD , en laissant indéterminée la loi que suivent ces infiniment petits d’un point à l’autre. La valeur de ôy remplit ces conditions; seulement ici on pourra supposer parce que pour les
points C et D l’abscisse est la même. Ainsi on prendra pour équation de ADB
y,-=.fx-\-ôa.(px-\-da,.(p,x-\-....
ou y, =j4-d>-=j + tu
’ dy, dut
dy,
+ dx«
Par conséquent pour la courbe ADB , l’intégrale se change en
ff ,y+dy,p, -f-dp ,p a ~t- âpn)âx
— J'(¥-{-dF)dx, au premier ordre près,
et pour que soit maxinium > *' ^ aul < I ue
/ (5 F . dr = 0.
