CHAPITRE III
, . . ... dü) d°(i) .
enlre parenthèses le soit; mais tu , — , .... j-^-sont arbitraires
et doivent rester tels, vu que ù) = (px.âa-{-(p l x. da,+ ....- H et que les infiniment petits Sa, da ,, etc., en tel nombre qu’on
d F dF c/F
veut, sont arbilraires.il résulterait donc de là que—, -r— ...,-7—
dy dp, dp„
seraient nuis. Mais ces conditions, suffisantes il est vrai, ne sont nullement nécessaires. En effet, l’intégration par parties donne
Or, aux limites x 1 , x" de l’intégrale, w ou dy est nul, vu que toutes nos courbes ont tes mêmes ordonnées en ces points; donc
/£*,=- /lj-.d.ÿ-dx.
e/ dp, t/ dx dp,
n a f* d ^ d’eu dF du) dF dcu
D, même (3) J -J i . - -
dF do 1 . dF 1 , dF ,
d'oi. fdyio> = r’ÿ j, £
t/ dp , dx «/ dx' dp ,
On trouvera enfin P £ = ( t ). / J- d. ” — (uiir
t/ dp n dx n ~' J dx n dp„
Donc
fâF.dx =
PrdF 1 , dF \ J dF . .. 1 , dF-, ,
J d^' d °dfï] wdx
et pour que cette intégrale définie soit nulle, il faut et il suffit que chacun de ses éléments le soit. En effet, si cela n’était pas, tu étant arbitraire, on pourrait à chaque point de la courbe
dF
supposer wdx de môme signe que le facteur ^ etc.; par suite
tous les éléments de l’intégrale seraient positifs , et l’intégrale ne serait pas nulle. Donc à chaque point de la courbe cherchée
on a
dF 1 j dF . / « 1 . dF A
ï r -dx‘ d - dp, + "• + ( 1} ” d? ' ’ d]T„ ~ °’
Cette équation est l’équation différentielle de la courbe cherchée; elle est de l’ordre 2 n; son intégrale renferme donc 2 n constantes, que l’on déterminera en faisant passer la courbe par les points A , B , puis exprimant qu’en ces points les valeurs dy d a ~~~ , y m
de -j- .. sonl égales à celles qui ont été données.
70. Les points limites de la courbe cherchée ne sont pas tou-
dy d*Y
jours donnés, non plus que les valeurs de ... à ces
points. Mais quelles que soient les conditions auxquelles les points doivent satisfaire, on peut être certain que l’équation de la courbe est la même. Car si ces points ne sont pas donnés , ils sont assujettis à certaines conditions , comme de se trouver sur des courbes données AA', BB'. f)r les courbes telles que A , D , B , qui passent en A et B , sont dans le même cas ; celles
dy d n — *y
qui ont en A et B les mêmes -f- , . . . — — — , que ACB, salis- 1 dx dx"“‘ M
font donc, en ces points limites, aux mêmes conditions que
ACB; par suite si ACB est la courbe cherchée, elle jouit aussi
