CHAPITRE III

du maximum ou du minimum par rapport à toutes celles qui

i , dy d°~~'y

ont les mêmes limites et les memes valeurs de ; , . . . — —

dx dx°~"

à ces limites. Donc s’il s’agit simplement de trouver l’équation différentielle de la courbe, on peut supposer les limites données , ce qui reproduit l’équation du n’ 68. Mais dans ce cas le calcul fournit des conditions relatives aux limites. Comme il s’agit de comparer la courbe ACB à des courbes telles que A'D'B' qui peuvent avoir des ordonnées auxquelles il n’en correspond pas dans ACB, et réciproquement, il ne suffit plus de dy

faire varier r, etc.; il faut aussi faire varier x. Il est vrai dx

que par cela même x' et x" varieront aussi, et qu’il faut examiner ce qui en résulte.

Reprenons f¥(x , y,p ,, .... p„)dx . J X

faisons y varier xf , jc?‘ , x, y.... p„; il vient

F(x-j-âx, y-hdy , .... p„-{-dp„)d(x-\-dx) , en supposant que dx x'+}x‘

soit fonction de x.

La partie qui est du second ordre sous le signe J est F . ddx-ydx . !

|4r dy et en vertu des formules du n" 67.

F . ddx -f- 1- 4r-+ ^ f. + ^ P , + •••• + ^ P»+.

, 4F . 4F 4’tu 4F * d°w 4F +0,dx ’ dï- +Am -dï> + lü-dp + - + d^-df n

dx

Le facteur de dx n’est autre chose que 4F ; ainsi la première ligne se réduit à F . ddx-+-d ¥ . dx — 4. (F . dx) ; la seconde ligne a été traitée au n° 68. La variation de notre intégrale, prise indéfiniment, se réduit donc à

PRINCIPES DK l'aNALYSB INFINITÉSIMALE.

^r </F 1 j dF , 1 i

= Fox-f- 1 j t d.-. h j—. d'.- I

| jip, dx dp, dx‘ dp 3

fdF 1 dF 1

| dp, dx ‘ ' dp, ■"‘J

du)

dx

- etc.

dV d"~'u) dp a ‘ dx"-'

dy dx dp,

wdx

Cette dernière intégrale doit être nulle entre le6 limites x' et x " , comme on l’a prouvé; reste à annuler la partie intégrée, mais entre les limites x'-f-dx' , x"4-dx"; à ces limites on peut substituer x* et x"; il n’en résulte qu’une variation du second ordre. 11 vient donc

F(x\/\ p l '....)âx"— F(x’, y, p’....)âx' - f-etc. = 0.

Pour la manière de faire usage de cette équation, nous renverrons aux traités relatifs à la matière, et surtout à un mémoire d’AMPÈRE, Annales de Mathématiques.

71, Dans les applications il est souvent plus commode d’opérer de la manière suivante. On suppose la fonction donnée sous la forme y(x, y, dx, dy, d'y, d'y, ... d"y ) ; la variation, d’après une remarque faite plus haut , est

.Jl-§dx+tEdr-

d(dx) ^dy y

expression que nous écrirons ainsi

d(dy) d(d'y)

dy

'diÿFÿ)

Xdx-t-X.ddx -t-1 fiy -+- Y , dfiy -\-Y,d’ây-i- .... 4- Y„d"ây.