Théorème. Si a est de l’ordre m , a" sera de l’ordre mn

Car

et • ci 0

Or — est fini; donc — l’est. Donc etc.

I*m l’iun

13. Théorème. Si a, , a,, .... a„ , sont infiniment petits, n fini, la somme Ur~ CC.-K...-+- ct a , est infiniment petite.

Car pour rendre cette somme moindre qu’une quantité donnée â, il suffit, de satisfaire aux inégalités suivantes, en ayant égard aux valeurs absolues :

Cl)

Or comme n est fini, et par suite ne dépasse pas un certain nombre donné k , que d’un autre côté a, , a,....a u peuvent s’approcher de zéro d’aussi près qu’on veut, il est évident qu’on pourra satisfaire aux inégalités (1), desquelles il résultera que

K t — f— Cï,— | — .... — f— (Ku<d<^.

14. Remarque. Si le nombre n croissait indéfiniment à mesure que a,, a,,...a„ convergent vers zéro, on ne pourrait plus affir-

mer que les conditions a, - » etc. , sont possibles, vu que -

PRINCIPES de l’analysb infinitésimale.

n’est plus une quantité donnée, mais bien une quantité qui dépend de a,, a, .... a„; et si, par exemple, la liaison entre n et a,, a, est telle, que a,n, a,n .... a„n soient tous

^>â, en valeur absolue, nos inégalités seront impossibles. On ne peut donc pas affirmer en général que des infiniment petits y en nombre infini, donnent Une somme infiniment petite.

la. Coroll. Dans le cas où n est fini, si a, est l’infiniincnl petit de l’ordre le moins élevé et que m soit l’indice de cet ordre, la somme a,-H* a +. sera dé ce même ordre m. Car on a

a.+cta-)- •••• d "Kn

Dans le second membre de cette égalité le terme

— est fini

puisque «, est de l’ordre m; parmi les termes^, etc. ~ , il n’y

en a aucun qui soit infini, vu que a, .... a„, sont de l’ordre m ou d’ordres supérieurs; donc ce second membre se compose d’uue partie finie et d’une partie infiniment petite; donc il est fini et la somme a, -+-a„ est de l’ordre m.

16. Théorème. Toute série d’un nombre infini de termes ordonnés suivant les puissances croissantes d’un infiniment petit, puissances affectées de coefficients finis , est de l’ordre de son premier terme.

Soit la série

a étant infiniment petit; À, A,, etc., étant finis.

Parmi les modules des coefficients A, A,, etc. , soit C le plus grand; on aura quant aux modules

S<^Ca n ’d-C«“+ 1 -+-

ou <Ta n, (ld-ad-cc’d->...)

ou

Cer

Quantité de l’ordre de a m .

17. Coroll. Donc toute série de celle espèce pourra être sup-