CHAPITRE PREMIER

enfin V A-f-a — Ÿ A , sera de l’ordre m+n — ( s — 1) — — n-f- — , quantité - , ordre de

24. Coroll. Si dans B b , b est fini absolu positif, mais quelconque d’ailleurs, cl que B se compose d’un infiniment petit absolu de l’ordre ni, plus un infiniment petit d’un ordre plus élevé , il s’ensuit que B b se composera d’un infiniment petit absolu de l’ordre mb , plus un infiniment petit d’un ordre plus élevé, et pour supprimer ce dernier, il suffit de réduire B à l’ordre m.

25. ÏHÉonÈsiE. La corde, le sinus, la tangente, d’un arc in- Jinimenl petit , sont du même ordre que l’arc.

Soit un arc infiniment petit a; la corde est 2 sin^a; mais

tin - » 2itn 1 et

est fini; donc son égal , l’est; donc la corde est

du même ordre que l’arc.

Le rapport étant aussi fini, sina est du même ordre

que a.

Enfin X » produit dont chaque facteur est

a a cosa

fini; par suite tgu est du même ordre que a.

26. Coroll. Il s’ensuit que les différences a — sina, a — tga, sont d’un ordre plus élevé que celui de l’arc; par suite si a est infiniment petit absolu, de l’ordre m, et qu’on veuille supprimer les infiniment petits des ordres supérieurs, on remplacera sina et tga par a.

27. Remarque. La sécante d’un arc infiniment petit diffère infiniment peu du rayon, de même que le cosinus; la première en plus, le dernier en moins. La cosécante et la cotangente sont infinies.

lO PRINCIPES uu l’analyse infinitésimale.

28. Tuéorème. Si un arc fini absolu a, qui n’est point un multiple du quadrant » reçoit un accroissement infiniment petit a, chacune des lignes t rigonomèl riques de a recevra un accroissement de l'ordre de a.

1° L’accroissement du sinus est

Am(a-f-a) —sin a == 2 «h ^ acos{a-{- j- a);

2 c 0 i(a+^a)estfini; sin^ a est du mêmeordrequéa; donc etc.

2° L’accroissement du cosinus est dans le même cas, vu que cos a—sin(90 — a).

Quant aux autres lignes, on a

• sin a cos a 1 f

tgai= , cota~ — — , sec a— \coseca— ;

cos a sma cos a sin a

Comme aucun de ces dénominateurs n’est nul, il suit du n° 21 que la même propriété a lieu.

29. Coroll. Si un arc A se compose d’une partie finie .absolue qui n’est pas un multiple du quadrant, et d’un infiniment petit, chacune de ses lignes trigonométriques contiendra une partie finie absolue plus un infiniment petit; pour supprimer cc dernier, il suffit de réduire l’arc à la partie finie absolue.

Il en sera encore de même: 1° de «nM , «wM , tg M, sécM, si la partie finie absolue (le M est un multiple pair du quadrant; 2° de stnM, cojM, eolM , cosécM, si cette partie est un multiple impair du quadrant.

30. Si a est fini, cç infiniment petit, il est prouvé (v. l’Alg.') que «* diffère infiniment pende l’unité, de sorte que a*z=l-finfiniment petit.

31. Théorème. Si dans logk, a 1 , k supposé fini reçoit un accroissement infiniment petit , il en sera de même de logk, a 1 » a étant fini absolu ainsi que la base des logarithmes.

Soit a l’accroissement de h ; on a

log{k-\-a) — logfr= log 1 + - !