C. Carré creux, épaisseur petite , ^ "*" "7 ^ûviron
D. Cercle creux, épaisseur petite, q^ t
107. Problème II. — Étant donnés Veffort d'extension et le moment de flexion gui agissent sur une section homogène d'un solide de résistance, ainsi que la forme géométrique de cette section , en calculer les dimensions de manière que la plies grande tension ne dépasse pas une quantité déto^minée, t kil. par mètre carré.
En appelant u' la distance de la fibre la plas fatiguée à Taxe W W , on aura, d'après Téquation (44) ,
. N . Msina ,
Dans cette équation, S et le module —, sont des inconnues
que Ton peut exprimer en fonction d^une seule des dimensions de la section dont la forme géométrique est donnée. Cette dimension dès lors devient la seule inconnue.
Dans les cas où la section est circulaire, elliptique [b =» nh), ou rectangulaire , on arrive aux équations suivantes :
rf* j-d T = 0, (circulaire)
lit 7rr
h^ 7 h 7 = , (elliptique)
nst mit \ r ^ /
h* j- h 7- = . ( rectangulaire ).
Exemple. — Le solide n^* 22 et 75 est soumis à un couple de flexion de 4250 km. agissant dans le plan VV et à la tension totale N — 800^. Faisant abstraction de Teffort tranchant , nous trouverons :
Pour la valeur de d (éq. 48) ,
Pour la tension de la fibre la plus fatiguée ( A , fig. 12) ,
OT vf ses 0,4385 6, ce qui mène à Téquation
et pour t =s 4.000.000 kil. par m. q. , on a
d'où , au millimètre près, b =» 0™,287 et ^ = 0™,144.
Il est avantageux d'employer la méthode graphique pour résoudre ces équations du 3« degré. Voir note II à la fin du volume.
!••. Application*. — On suppose le solide prismatique et homogène et on demande de déterminer les dimensions de la section agençastrement , étant donnée la tension maccim,a de 5 000 000 kil. par mètre carré pour la fibre la plus fatiguée.
Fia.SS, ^' ^^ ^^^^^^ ^^^^^^9^^ BA. (fig. 52) est encastré
à Vune de ses extrém,ités B et soum.is à Vautre à un effort P de 1000 kil., dirigé parallèlement à BA et appliqué à la distance 01^,50 ^sB. de la fibre moyenne B A. La section doit être circulaire.
d = 0'»,102 au millimètre près.
II. Le solide est encastré obliquement en B, sous un angle a avec le mur ( fig. 53 ) et il est sournois à un effort P normal au m,ur. Section carrée. On donne
« = 30o; P^lOOOk; Z=.l«.
On a N =» P Sin a = 500'' ,
M = P;cosa=866»in»,
h T^ 0™, 102 au millimètre près.
III. Le solide (âg. 54) est dans le même cas que le précédent, mais la force P est appliquée au bout d'un bras kC perpendiculaire ^ BA. On donne
On a
N =- P sin a = 500^ ,
M =« P X BC^= P(^cos« + R8in«) = lll6>'»,
h* — 0,000l h — 0,0013392 = 0, /i =s 0™, 1 1 1 au millimètre près
Fiff.55.
plcosa
iOO. Problème III. —
Une poutre prismatique, homogène, dont la section est rectangulaire , supportant une charge uniforynément répartie de \}^ par mètre courant, est inclinée d'un angle a à Vhorizon et supportée à son extrémité inférieure; elle repose sur des appuis placés à ses deux bouts, 071 demande la position de la section dangereuse ainsi que la tension de la fibre la plus fatiguée dans celte section. (Fig. b6.)
Soient : ^ la longueur de la poutre ; x^ la distance d'une section quelconque C à Tappui inférieur A pris pour origine.
Les réactions verticales seront -^ et , estimées normale-
ment à la fibre moyenne, -—- cos a. Le point d'appui infé-
rieur doit aussi offrir une réaction égale à pls^iaa dans la direction AB. Une section C quelconque supporte de la part de la portion supérieure C 6 de la poutre une compression
N == p {l ^ x) sina.
et en même temps un moment de flexion
^€ P^ P^^ Pi.
M = ^ rccosa — ^---cosa = ^x(/ — a:)cosa.
/w /w éC
Donc , en vertu de l'équation (45), la tension de la âbre la plus fatiguée dans cette section est
V = — rr'COS
Ôtga
«U-:t)(x+"-ffi)
ah*^^^~ v ",^ . 3 Il est une valeur de x qui rend V un maximum. En effet, la somme l — x + a^+b ■ des deux facteurs variables
est constante et égale à / + ^
tga
donc le produit ou t'
est maximum et égal à T pour la valeur X de a:, qui rend les
Donc
deux facteurs égaux chacun à --- H —
cos
Ôtg a\« 3 /
Exemple. — La charge j? est le poids même du solide évalué à raison de 3000 kil. par mètre cube ; a s= 45° ; b == 0"»,50. On suppose qu*à la tension de 1 000 000 kil. par mètre carré la pièce se rompt et que les lois adoptées ici sont encore valables jusqu'à la rupture. On demande quelle est la longueur l pour laquelle la poutre se rompra et où sera située la section de rupture. Le calcul donne l = 17™, 50.
