FLEXION ET TORSION COMPOSÉES
f lO. — Nous adoptons pour ce cas la méthode de Poncelet à peu près telle qu'elle a été exposée dans Tédition de Navier publiée par Barré de S' Venant , page 372. Elle s'écarte de ce qui précède surtout par la considération de la contraction transversale et conduit directement à la formule théorique que la pratique a sanctionnée.
FigSâ.
Soient : ABCD la section longitudinale d'un prisme élémentaire considéré (âg. 56); AD sa diiigonale à l'état pri-
mitif; AD' cette même diagonale déformée en vertu l® d'un allongement DE = /L de la fibre; 2° d'une contraction transversale EU = A. CD = AL tg a ; 3° d'un glissement dû à la torsion, GTD' = çL.
La déformation de la diagonale AD sera OH et nous ferons
cosa
en appelant f l'allongement proportionnel résultant pour la diagonale.
Le but du problème est de rechercher sous quel angle a l'allongement proportionnel résultant, f , est maximum.
Or, on a
IÏH«*=lîEcosa— ■Ei5sina + 5iy sin a ,
f ^ - sin'a .
ou = ^ cos a — A h ^ sm a ,
cos a cos a *^
ou f = ^cos'a— Âsin*a +^sinacosa,
ou i' =/ — (e* + A)sin«a + f sin2a.
Le maximum de f a lieu pour --- ^ o , soit pour d'où 8in»«, = -i 1 1 — ^ ~^
et sin*a.
ff
enfin fm = ^-^ + Y v/(^ + *)* + ff*-
En admettant qne la contraction transversale k pour les matériaux employés dans les machines soit le quart de la
dilatation longitudinale 2, onaA = -- et
Soient maintenant : X^ le moment réel de flexion agissant dans un plan dont la projection fait Tangle /3 avec le
diamètre conjugué ; — le module de flexion de la section
par rapport à Taxe neutre ; Mq^"*, le moment de torsion et
-2. le module de torsion ; E , G , L , même signification que
ci-devant. On aura
XsinP /w'\ ^ Mo /r>.
Enfin , soit M un moment de flexion fictif qui , à lui seul , produirait rallongement fm et agirait dans le même plan que le couple X ; c'est-à-dire soit
__ M sin j3 / w' \
nous aurons
MsinP=|xsinP+i / (|xsinpy + (i| ^ M»)' ;
E 5 ^ or ~ = -, donc
Msin|3==|xsin^ + ~i / X«sin*P+ (2^Mo)'- (51)
Donc si Ton donne X , j3 , Mo et la forme géométrique de la section, ainsi que la tension t la plus grande permise pour la fibre la plus fatiguée , pour déterminer les dimensions de la section , il faut exprimer les modules en fonction de Tune seulement de ces dimensions, et, ayant calculé M sin |3 au moyen de Téquation (51 ) , poser
I M sin 3
d'où Ton déduira la dimension inconnue.
111. — Pour toute section dont Tellipse centrale devient un ceicle, sin jS = 1. Tel est le cas des sections circulaires et des polygones réguliers. Pour eux on a donc
