CHAPITRE VIIJ
SITB LS CALCUL DES ENVELOPPES CYLIin)RIQ1IE8 ET SPHÊBUHTES ET DES FONDS PUTS (i).
11*. — Enveloppe cylindrique, grande pression à
l'intérieur. — Soit (flg. 57) un cylindre creux , fermé à ses deux bouts par des fends d'une solidité indéfinie; renfermant un fluide capable d'exercer en chacun des points de la surface intérieure une pression de P kil. par mètre carré; plongé dans un flaide exerçant en sens contraire, mais toujours dans la direction des rayons, une pression de P' kil. par mètra carré. Nous supposons d'abord P > P'.
(!) La méthode guiTie est celle de M. le colonel Dctos , Cours de ci trnctioD, 1879.
A. l'état primitir le métal de Tenveloppe cylindrique n'éprouve aucune extension ni compression. L'eflFet des pressions P est d'augmenter le rayon intérieur et de produire ainsi une tension tangentielle sur les fibres circulaires , tension qui varie d'une fibre circulaire à la suivante d'après son rayon r. Les pressions P' diminuent cet effet. Mais ces mêmes pressions normales et de sens contraires ont un second effet qui consiste à diminuer l'épaisseur dr des fibres circulaires, et par suite aussi l'épaisseur R'— R. Il en résulte que les fibres circulaires éprouvent chacune une certaine tension tangentielle ou longitudinale que nous appellerons i pour la fibre de rayon r quelconque variant de R à R'; T pour la fibre intérieure de rayon R; T' pour la fibre extérieure de rayon R'; et en même temps une compression transversale, normale à la précédente, qui est P pour la fibre de rayon R, p pour la fibre de rayon r et P' pour la fibre de rayon R'.
Les tensions sont toutes exprimées en kil. par mètre carré; les dimensions , en mètres; nous considérerons une portion de cylindre d'un mètre de longueur , comprise entre les plans CD et CD'. Sous les influences diverses que nous venons de faire connaître, le cylindre tend à se rompre suivant le |)lan projeté en AB et compris entre les deux sections d'un mètre de longueur projetées en AA' et BB'.
1141. Problème I. — Dœas les conditions ci-dessus énoncées , chercher la tension longitudinale t en un point quelconque des sections A A' et BB'; et la compression transversale p au même point • La matière est supposée homogène.
Nous ferons usage de la propriété suivante : Lorsqu'une circonférence de cercle de rayon r supporte une pression normale en chaque point et uniformément répartie à raison de p hil. par mètre courant, l'effet de ces pressions sur une demi-circonférence estimé parallèlement à unedù^ection perpendiculaire au diamètre est p.2r; en d'autres termes, il est le même que si la pression p
s'exerçait normalement sur le diamètre seul (l). Nous regarderons cet effet comme réparti en deux parties égaies aux extrémités d'un même diamètre.
Cela posé, si nous considérons les fibres comprises entre les rayons R et r, la résultante des tensions longitudinales qu'elles éprouvent est égale à
PR — jpr.
Mais t étant leur tension longitudinale par mètre carré ou par mètre courant du rayon (puisque nous supposons que chaque fibre a un mètre de longueur) , la tension d'une fibre d'épaisseur dr sera tdr, et la résultante des tensions tdr, qui doit être égale à PR — i?r , sera la somme de quantités analogues à tdr^ prise entre R et r. On a donc
PR— i?r— ltdr\
ou — d (pr) « tdr. (a)
A cette première relation entre p,tetr s'en ajoute une seconde par la considération de la diminution de l'épaisseur des âbres due à leur compression. La compression totale
d'une pièce d'un mètre de longueur serait -^ , E étant le
coefficient d'élasticité; la compression d'une pièce de dr
mètres d'épaisseur sera donc ^ dr, c'est-à-dire que la dlmi-
nution totale de l'épaisseur entre les rayons primitifs R et r doit être
kf^^'''
Fiff.59, d
(1) Démon«lr«lloii «omiiuilre. — Fig. 59.
La force cherchée est
£EH = ^F8inus= lp\ AB gin a -= p £ AB sin « ^plCD BBp.27\ c. q. f. d.
Nous pouvons en obtenir une autre expression. L'épaisseur primitive était r — R. Or, la fibre circulaire, qui avait primitivement r pour rayon et 27rr pour longueur, s'est
allongée de -=7 par mètre courant et, par suite, de 27rr ~ au
total. Elle a donc actuellement pour longueur 27rr n + — V; et, comme elle est restée circulaire , son rayon est actuellement r A 4--pr) • ^^ même la fibre , qui avait primitivement
R pour rayon , a, après déformation , un rayon R n +- — V
Donc répaisseur totale , qui était r — R à l'état primitif, est devenue à Tétat déformé
et, par suite, la diminution d'épaisseur est
On a donc
d'où — d (^r ) = prfr. (ô)
Développons les équations fondamentales (a) et (ô) , additionnons-les membre à membre , puis soustrayons-les , nous arriverons aux résultats consignés dans les équations suivantes :
tdr + râJt -^pdt = , d'où dt — dp=^0,
t — ^ = const. = T — P = T' — P'. (c)
Ensuite 2(t +p)dr +r (dt + dp) =^0,
r t-{-p r« (t + p) =const, = R«(T + P) = R'« (T'+P') (d)
Enfin, des équations (c)et{d)on déduit :
équations qui forment la solution de la question.
1 1 5.— Le diagrammme des valeurs de t etp, tracé fig. 58, montre nettement comment ces quantités varient avec le
rayon. La courbe {t)esi du genre hyperbolique; elle a pour asymptotes Taxe des y d*une part et d'autre part une parallèle à Taxe des x située à la hauteur
Pi
La courbe (p ) est identique à la précédente que Ton aul*ait
descendue parallèlement à Taxe des p à une distance T — P
en dessous de la première. Elle a donc pour asymptotes Taxe
des y et la droite
Il s*ensuit que la âbre la plus fatiguée est celle dont le rayon est le plus petit, c'est-à-dire la flbre intérieure de rayon R , et sa tension e»t T.
lérieur. Hé^e pr«bléHe I.
La tension t qui , dans le premier cas , était prise avec le
signe positif, était une extension ; dans le cas présent, c'est
une compression ; donc il faut changer le signe de t.
AiD^i les équations (a) et [b) deviennent respectivement
d(pr) = t(Sr. (a')
)Hlr)~p<ir. (y,
On en déduit p ■+ t = const. = P + T=P' + T'. {&)
?••{( — 2')= const.=R'(T—P)=R"(T' — P'),
, - , T' + F , R" T' — P' et t ^+^, (66)
Les deux courbes, diagrammes des valeurs de t et àep, ont encore pour asymptote commune l'axe des^(âg. 60): de plus la droite
estaus-si une asymptote commune; les deux courbes sont symétriquement placées par rapport à cette droite. On voit
donc : l* que, contrairement au cas pr(^cMent , la compression transversale des fibres circulaires va en diminuant de Textérieur vers Tintérieur; 2<' que, de même que dans le cas précédent, la compression longitudinale va en augmentant de l'extérieur vers Tintérieur.
If T. Enveloppe «phériqae, grande pression à Hnlérienr. Même problème I.
La propriété rappelée n^* 114 pour une demi-circonférence de cercle convient à une demi-spliôre. Il en résulte que la composante des pressions qui s'exercent à l'intérieur de la demi-sphère est égale à PttR*. De mémo pour la sphère de rayon r, la composante est p 7rr«. La différence tt ( PR* — pr*) est égale à la résultante des tensions normales & l'anneau obtenu en coupant la sphère par un plan diamétral. Or,* cette tension est Idr par mètre courant de la fibre qui a une longueur totale 2nr; donc la tension totale pour cette fibre esi2iirtclr; et l'on a
7r(PR* — pr«)= l2iirtdr,
d'où — d (pr*) — 2rtdr.
Quant à la seconde relation, elle est la môme que dans le premier cas , celui du cylindre avec grande pre-^sion à l'Intérieur. On a donc & traiter les deux équations
d (pr*) + 2rtdr = 0, (A)
d{tr) +pdr^O. (B)
D'où r*dp + 2prdr -f- 2 trdr — ,
r^dt'\-trdr + prdr^O,
r{dp-\'dt) + 3[v-\-t)dr^Q,
^dr d(p + t)
r»(p-h^)«const.-R»(P4-T)-R"(P>T'), (C)
2 dt — dp -^ ,
2t-'p-^ const. ~ 2T - P - 2T' - P'. (D)
D'où i-^tL-L + ÏL i-±-L, (58)
Là figure 61 donne les deux diagrammes des valeurs de t et de p. Ce sont encore des courbes hyperboliques ayant pour asymptote commune Taxe des y ; chacune a , en outre ,
une asymptote parallèle à Taxe des a? , à la hauteur — - —
pour la première et à la même hauteur , mais en dessous de Taxe des œ pour la seconde. On voit que c'est encore la fibre intérieure de rayon R , qui est la plus fatiguée par extension.
lis. Enveloppe §phérlqae , grande pression à Texlérienr. Même problème 1.
La remarque qui nous a servi à établir les équations fondamentales (a') et (ô') s'applique au cas présent et nous permet d'écrire sans les expliquer les équations suivantes :
d ipr^) — 2 trdr = , (A')
d{tr) — pdr =0, (B')
r^(t—p) = const. = R» (T — P) = R" (T'- P'), (C)
2i-\-p = const. = 2T+P = 2T' + F
R'» Tj--F^ r» 3
Les deux diagrammes des valeurs de^et àep(ûg. 62).
ont encore pour asymptotes communes Taxe des p et la droite
2T' 4- P' parallèle à Taxe des a? et à la hauteur — ^ — La plus
grande tension , ici une compression , a encore lieu à la fibre intérieure de rayon R.
i MO. Problème II. — Étant donnés tes rayons R et R',
et les pressions P ^^ P\ trouver la tension (K^T), de la
fibre la plus fatiguée.
R' Oq trouve, en appelant z le rapport -^ des rayons :
!•»• cas,
