III

imum

rapport -— »

Fonte,

Fer.

Bois.

183. Problème IV. — Chercher le solide d'égale résistance dans le cas d'une pièce pressée par ses abouts, (Fig. 68. )

Dans une section CD quelconque , la fibre la plus fatiguée par compression est celle que nous avons désignée par la lettre D dans la figure et que nous supposons située à la distance z de la droite qui serait Taxe neutre s'il n'y avait que flexion seule. Pour cette fibre, ona (n®^ 130 et 131)

et la tension t doit être la môme î)our tous les points de la fibre extérieure comprimée D'D". Le problème consiste à chercher la fonction z deœ qui remplit cette condition.

Nous en chercherons la solution pour deux cas : 1® celui où toutes les sections sont des figures géométriquement semblables ; 2° celui où la section est rectangulaire , Taxe de fiexion étant parallèle à la dimension constante a des rectangles.

Premier eas. — Sections semblables. — I = c js:*, S = c' ^•. Des équations générales on déduit :

dy dx

dx^

Ny El

3if

1 \ dz

rst , \\ az

\ N c'/ dx

6t /dz\*

/'6t , I \a^z , oç /dzy ,

rit \\d*z &t (dz\* !// N^\

3^ Divisant tous les termes par -^ et faisant

ona (^' — a')-;— r + 2 1-:— I 4--^--(-t r) = 0.

dz Introduisant le facteur 2 (^' — a* ) — et intégrant, on a (1)

La constante C, sera déterminée par la condition résul-

dz tant de la symétrie, que — = au milieu de la pièce, là

où la valeur le z passe par son maximum r,

___«Mogr«-^-C. = 0.

Si nous prenons ^' comme variable , nous aurons Appelons maintenant e une quantité telle que

puisque p est la valeur que prend z aux extrémités de la pièce , là où il n'y a pas de flexion , p est la plus petite valeur de z et e' la plus grande valeur de e. Cela résulte des équations (a). La limite de e' est l'unité; car pour e' = 1 on aurait p == , ce qui entraînerait N = et la disparition du problème tout entier. Cette remarque nous permet de substituer au log (1 — e) les deux premiers termes de son développe-

(1) Cette méthode m'a été suggérée par mon collègue et ami M. E. Ron kar , à qui il m'est agréable d'adresser ici mes remerciements.

ment (— 2 ) • D'autre part , il est possible de démontrer

que la quantité sous le radical est toujours positive pour des valeurs de z* supérieures à p*. En effet , soit Y = f{z*) cette quantité, on a

aY I (^'-P')(4-^') .

donc, pour toute valeur de z* supérieure à p', le coefficient différentiel de la fonction Y est négatif: il n'est nul que pour ^« = p«. A partir de cette valeur, Y va donc en diminuant à mesure que z* grandit et ne devient nul que pour z* = r*. Remplaçant donc, dans l'expression (ô), log >3:" par

log ^' + (— s — -—) , supprimant le terme en e' dans le

développement obtenu par suite des notations (c) , et faisant

nous aurons

— a* — r*e)dt

rl/3 Ar* — a« — r«e

/r«^"2^ J l/Ae— e«

qui donne

rl/3 ( r«-a*« . /2s A, ,,/-: z)

œ=CiT „; , -T^arc smi^j — 1 l+r«K Ae— s« .

Reste à déterminer la constante Cj. A cet effet plaçons Forigine au milieu de la pièce : kœ = correspond e == o et et on a

rl/3~ (r^ — a*)* Sn

d'où œ^± *^ '

arcsm

"■fï-')]

— r*l/Ae — e'I- (74)

Si, dans cette équation, on fait e = s' et ^ = p, ^r prendra

la valeur ib ~ ; si, enfin on y fait ^ = P4 suivant les nota-

tions adoptées dans ce chapitre, « , |3, r étant remplacés par leurs valeurs (a) et (c), on. arrivera à Téquation

Ec 1 1 \ (2 + €T

— arcsin

qui donne la limite du rapport — pour que la flexion ne se

produise pas même sous la charge de rupture par compression P|.

Cette limite , comme on le voit , dépend de la valeur que l'on assigne d'avance à e' ou du rapport de r à p. C'est ce que n'a point entrevu Redtenbacher qui, du reste, part d'une hypothèse contradictoire puisqu'il suppose d'abord S constant pour déterminer ensuite son mode de variation.

Pour e' = , on retrouve la limite déjà assignée pour le

solide d'égale résistance , soit ;r~ = -?■ V -?r , au cas où la

secion est circulaire, c'est-à-dire où c = -—et c' = 7r. SoitK

cette limite de -— ; pour e' = -—» — »-- on trouve les va-

leurs respectives 1,268 K; 1,863 K; 3,277 K. D'où le tableau

— pour la fonte

» le fer

^ le bois

Les valeurs de s' et du rapport R = -- ne sont pas loin de

suivre la loi exprimée par l'équation R ( 1 — e') = const.

La ligne ABCD flg. 69 est la méridienne du solide circulaire d'égale résistance pour e' =« * Ses cordonnées sont

Equation M^ = 37r— 2arcsin(3,2£— 1)— 0,961/lOe— 16e».

Deaxiéine cas. — Section rectangulaire à base a constante. Suivant la même marche que pour le premier cas, nous aurons :

a}J£z . 2N 6 N dx'^

"^ Ea \N az) '

facteur d'intégration ,

a* t / dz \^ , iH^ / t 1 , , ^\ ^

r. . a . 1 Ea

Jvi

log«-X.-C,

Soient : & la valeur de z ou hauteur de la section au milieu de la pièce ou pour x=^0;b' aux extrémités ou pour œ^± - *

&' étant déterminé par Téquation aô' =

^ = 6(l-£), &' = &(!-£'), log(l-e) = -e- — ;

on aura

Jv(T

« ^4/E .ri — £' ,1

— arcsm

Si , dans cette équation , on fait £ = £' , ^ = P| , œ prendra la valeur it-r-et Ton arrivera à Téquation suivante, qui

donne le maximum de — pour une valeur choisie de e ;

« i/rV Pi 1-e'

— arcsin (— £')

Pour e' == , OD a le solide prismatique pour lequel la limite

— =« — zlI/^r— = K. Pour e' = —-,-—,-- respective- « 2\/3 V Pi 4 2 4*^

ment , la limite devient 1 ,12 K ; -^ K ; 1 ,84 K; l'interpolation

par le procédé graphique la donnera pour d'autres valeurs de e'. On en déduit le tableau suivant :

- pour la fonte

« le fer

'♦ le bois

La ligne AB'C'D' , fig. 69 , est le profil du solide rectangulaire d'égale résistance pour e' = — - et est tracée au moyen

de réquation

Mo? = 37r — 2 arc ain (s — l).

Les coordonnées sont