CHAPITRE X
PIECE DROITE REPOSANT SUR PLUS DE DEUX APPUIS (i).
181. Problénie I. — Étant donnés les moments de flexion en deux points El et B d'une pièce droite ainsi que les charges extérieures appliquées entre ces deux points , trouver le moment de flexion en un point intermédiaire quelconque.
Soient ( fig. 70 ) : Ma et M& les moments de flexion aux points A et B respectivement; P, , P,, .... les charges extérieures appliquées aux distances respectives x^, x^, ... du point A que nous prenons pour origine ; Ta Teffort tranchant en A ; â? Tabscisse d'une section quelconque par rapport à laquelle nous cherchons le moment de flexion M ; ft la distance ÂB.
Fiy.70.
Puisque le moment de flexion M est égal (n<^ 38) à la somme de tous les moments des forces depuis le point A jusqu'à la section considérée, nous avons
M =Ma + T«â? + 2âPn(a?-:a?n);
d'où Mb = Ma + Ta Ô + 2« Pn(Ô — Xn)\
(1) Dans ce chapitre nous suivons, en l'appropriant à notre plan général , la méthode si féconde et si remarquable que M. Clerc a fait connaître dans les Mémoires de la Société des Ingénieurs civils de Paris , août 1880.
et , en éliminant Ta qui est inconnu ,
M = Ma + (m» — M«\^
— a?y*P„^^^H-y^P„(a; — aj„). (77)
Telle est la quantité cherchée. Mais, pour Texprimer plus simplement , faisons
Mo = a?y^P«^^^ -y^^Fn(œ-œn), (78)
en remarquant que Mo serait le moment de flexion au point X de la poutre considérée si elle était sciée aux points A et B et soumise uniquement aux réactions Ra et R& d'appuis placés en A et B et aux charges extérieures données Pn. En effet on
aurait en ce cas Ra = X ï^» — } — ~ » ®^ P^^ ^^^^ ^o ©st
bien le moment de flexion que nous venons de définir.
Puisque Ton donne complètement les chai'ges extérieures Pn, il sera toujours possible de déterminer Ra et R& et par suite de tracer le diagramme des moments de flexion. (Voir note I à la fin du volume.) Le diagramme des moments de flexion M© est donné (fig. 70) , c'est le polygone AGDEFB. S'il y avait des charges uniformément réparties , les côtés correspondants du polygone seraient curvilignes ; la question que nous traitons n'en serait pas changée.
Nous avons mené {ûg, 70) la droite A' B' ayant pour ordonnées extrêmes Ma et Mb et dont l'équation est par conséquent
|UL = Ma + (M&-M«)— • 09)
On a donc XT = M© ; XH = /^ et , par conséquent , au signe près , M = Mo — f^ = TH . Rémarquons qu'il convient de donner le signe + au moment Mo parce qu'il a nécessairement pour eflet d'augmenter la flexion dans le sens où elle se produit à la poutre sciée. Dès lors on peut écrire
M = Mo-(x, (80)
ou
Pn{œ—œn) —
Ma + {M&-Ma)^
Dans la flg. 70 , les hachures figurent les valeurs de M , c'est-à-dire du moment de flexion , et ainsi donnent complètement la solution graphique du problème proposé
185. Problème II. — Étant donnés les moments de flexion M entre deux points ketB quelconques , ainsi que les ordonnées de ces points quand la pièce est fléchie, chercher les angles que la touchante à C élastique fait avec Vaxe des x en ces points KetB.
Soient (fig. 71) : ABC l'élastique; A'B' Taxe des x\
Fiç.7/.
ô = Â'B'; A' l'origine; y^ et y, les ordonnées des points A et B respectivement ; 0? l'abscisse d'un point N quelconque de la courbe situé entre A et B. Nous appelons I le moment d'inertie de la section en un point quelconque , moment qui peut être variable; E lecoeflîcient d'élasticité; y, l'angle que la touchante à l'élastique fait avec l'axe des x en un point quelconque et cpa et cp & les valeurs particulières de cet angle aux points A et B respectivement. Nous supposons qu'en tous les points de la pièce fléchie , la valeur de l'angle 9 est toujours assez petite pour que l'on puisse considérer l'arc DAa comme un arc de cercle ayant %b pour angle au centre et 6 = DB pour rayon. L'arc Aa == /î a été tracé par le point A se mouvant dans l'hypothèse que la pièce est sciée en A , encastrée en B dans la direction de sa touchante Ba ,
et soustraite à tout effort extérieur. Il suit de cette hypothèse que
dh = œd(f et par suite ka-^h^ 1 œd(f.
De plus , par hypothèse, Da = ô<p& ;
/a œdf
et
dtp Or -H- est ce que nous avons appelé ^=- dans le chapitre de
dco
la flexion simple et dont la valeur =^ est donnée par Téquation (18). Nous pouvons donc écrire
rfjp î^ M dx^ h El
Donc
1 fk
& JBI
De plus 9&
y.=Jd^=J(^)da;,
équation qui donnera (fa , étant connu (fb.
Fig. 72
131». Remarques. —
I. Que l'on trace (fig. 72) une courbe ab dont les ordonnées soient les valeurs de l'expression =r?
hi 1
Q pour l'abscisse correspondante, on aura :
y^j dx = K I — j = rairedeiacourbea6entreAetB;
et / i—jœdœ *=M (^rrr) = 1® moment de la surface
S ("pt) P^^ rapport à Taxe ka désigné par Tindice supérieur.
Si Ton connaît M, E eti en chaque point d'une poutre, on voit que Ton peut obtenir aisément , par un simple procédé graphique , les valeurs de (p& et de fa qui , avec les nouvelles notations que nous venons d'introduire , s'écriront
f— f • - SI (m) ■ '*»
II. Au cas particulier où El == const., la courbe ab (fig.72) a ses ordonnées proportionnelles à celles marquées par des hachures , fig. 70, et les équations précédentes deviennent
T^ = S^ + 6ïïrlCw. . (87)
137. Problème m. — Chercher une relation entre les moments de flexion Ma, Mo, Me sur trois appuis de niveau et les charges extérieures appliquées entre les appuis extrêmes. (A cette relation on a donné le nom de théorème des trois moments, )
Fig, 73, ^
Soient , flg. 73 , A , B et C les appuis pour lesquels y^ = y^ = 2^5 = 0. La relation demandée s'obtiendra en appliquant les équations (85) et (86) aux deux travées AB et BC successivement et en éliminant l'angle 96 , puis remplaçant M par sa valeur déduite de l'équation (80).
On a ainsi, d'après Téquation (85) où l'on fait t/a^j/b-=Pe^O,
dans la travée ô , ^* "^ T M ("pt) '
^« }M:(^)+iM:(^)-».
équation qui devient, après substitution de la valeur (80) de M,
13S. Remarques. — I. D'après les notations adoptées, on a
Cette expression représente le moment d'inertie de la surlace de la courbe dont les ordonnées seraient égales à — » pris entre A et B et par rapport à Taxe A. C'est pourquoi nous la représentons par le symbole J ( pf ) •
Avec ces notations Téquation (89) s'écrit
«■|iM:(ii)-.H'(En)l+«'l.^i:(îi)+.H'(ri)|
+4-M;Q-jii:(Éi)i-5M:(iî)+îM:(i)-<«»
