CHAPITRE XL
DEFORMATIONS DES PIEOES PRIMITIVEMENT COURBES.
Fig. 76.
i40. Problème I. ~
On demande de chercher la courbure affectée par la fibre moyenne d'rme
z, pièce homogène , primitivement courbe^ soumise à des effbrts donnés. {T\i 76.) Nous examinerons deux cas : 1<* la courbe donnée de la fibre moyenne est plane et reste plane après déformation; 2® la fibre
^moyenne a une double
courbure.
t^^ cas, /îbre moyenne plane. — Soient A B et CD deux sections normales indéfiniment voisines entre lesquelles la fibre moyenne 00' est courbe, ayant pour centre de courbure le point E, pour rayon de courbure p^ = ëU, pour longueur primitive ÔÔ' = L = dœ. Le moment M des forces extérieures amène la section CD dans la position CD' par rapport à AB restée fixe et alors la pièce a fléchi, le centre de courbure est venu en E' et le rayon de courbure est E^=p.MenonsCiDiparallèleàAB et soient yo=0'EO=C40C, y = COC. L'allongement proportionnel de la fibre ss^ située à un mètre de distance de la fibre moyenne dans la section CD sera
W,-^W l . W, 1 Or on a —^ — = — et --^ = — .
L p L po
Donc
L ~ p ■ pfl
D'autre part, en vertu de Téquation (18), on a -r=- = =^-
L El
Cette équation résoud le problème posé puisque M , I et po sont des quantités données , fonctions de œ.
î^ô cas. — Fibre moyenne à double courbure. — Les forces extérieures données sont appliquées en des points quelconques. La fig. 76 est supposée* dans le plan osculateur de la courbe donnée , c'est-à-dire le plan qui renferme les centres de trois sections indéfiniment rapprochées, 0, 0', 0". Les deux sections normales AB et CD se coupent suivant une droite perpendiculaire à ce plan et projetée en E , centre de courbure de la courbe primitive. Le plan osculateur ou plan de la figure coupe la section normale CD suivant une droit OWo prolongement de EO ; supposons tracée dans le plan de cette section , une droite OZq perpendiculaire à Ou^ :
ces deux droites O^o , O^o » ^^ec la direction 0' de la touchante à la fibre moyenne à Tétat primitif, forment un système orthogonal d'axes des coordonnées.
Nous supposons que la section normale après déformation est restée plane, que la fibre moyenne 00' a conservé sa longueur primitive L^dx, que la flexion n'est pas accompagnée de torsion , enfin que la distance u' de la fibre la plus écartée de Taxe neutre a une longueur négligeable en présence de celle du rayon de courbure primitif po-
Cela étant, après déformation, le nouveau plan osculateur coupe la section dans sa nouvelle position suivant une droite Ou faisant Tangle /3 avec OWo ; Oz , perpendiculaire à Ou fera aussi Tangle j3 avec OZq, et p sera le nouveau rayon de courbure. Considérons une fibre qui était à la distance Wq de Taxe OZq avant déformation et qui est ensuite à la distance u de Taxe Oz après déformation. Entre u^ et u existent les relations
u = Uocos/B + ^oSin/3» / v
z = Zf^Gos^ — WoSinP.
La longueur primitive de la fibre considérée est L (l + -)'
(u \ 1 H j ; donc son allonge- P ' ment proportionnel est
u Uq
^^ 7 p£.=:ii ^0
l + Ëi^ P po '
po
u ( en négligeant — ^ en présence de Tunité) ; sa tension ,
po
\p po/
l / cos 3 1 \ . sin S ) ,^^.
Les moments de cette tension pour toute la section auront pour valeurs : 2;3:o^5 par rapport kOUoetlUots par rap-
port kOZo, Ces moments sont égaux aux moments des forces extérieures par rapport aux mêmes axes. De là les équations d'équilibre que nous allons écrire en adoptant les notations suivantes : composantes des forces extérieures A, B, C ; coordonnées de leurs points d'application a, ô, c ; I, J, K moments et produit d'inertie ; F, moment d'inertie polaire.
Axe 0^0 A, a, I=2wo'5, K^lu^ZoS.
- OUo B, b, J = ^Zo^s,
- OO'ouOo? C, c, r = 2(Wo' + V)^- Nousaurons h = l(Cb — Bc) = lUots, (zj
N == 2(A& — Ba) = par hypothèse (Xq) (De même 2A==0, 2B = 0, 2C = par hypothèse). Donc
\ p po/ p
^^ ^^ , cosS 1 \ rr . S In S M 1 x^ I
\ P Po/
dûo Il est bien entendu que, si l'extrémité de la pièce n'est pas libre, on comprend sous le signe 2 les composantes A', B', C de l'effort qui y maintient la pièce.
Les équations (96) donnent
sinf3^ KL — IM
p -E(K«-IJ)- C0S.6 J KM — JL ^ ^
p po+E(K«-IJ)'
En éliminant (3 entre ces deux équations on aura une relation entre p et les quantités données , qui formera la solution de la question ; mais l'introduction de l'expression différentielle du rayon de courbure rend en général les calculs inextricables.
f 41* Remarques. — L En éliminant p et /3 entre les équations (95) et (97) on arrive à la valeur suivante de t : . M (K^o — Uq) ~ L ( JUq - Kjgp)
Pour Taxe neutre , ^ = et Ton trouve que cet axe neutre est conjugué dans Tellipse centrale avec la droite de la section par rapport à laquelle la somme des moments des forces ts est nulle, droite qui appartient au plan du couple de flexion résultant de L et M.
IL Si 2C n'est pas égale à zéro, outre la flexion, il y a
une extension d'où résulte la tension t'= -^ qu'il faut ajouter
à t. Nous représentons par S"^ Taire de la section considérée. Enfin si le moment de torsion N^ n'était pas nul, on aurait
1 4!i. Problème. — Étant donnée la forme primitive de la pièce , calculer le travail nécessaire pour produire une flexion donnée.
Au cas où il n'y a qu'une flexion simple, nous avons vu équation ( 28 ) que le travail cherché a pour valeur
2Ey
dx.
D'autre part, l'équation (94) donne — = wi'
p po ^1
Donc T = 1/(1-1)' Ida;. (99)
S'il y a en outre une tension totale N résultante des forces extérieures estimées suivant la touchante à la fibre moyenne au point 0, on aura en combinant les équations (10) et (29), avec (94),
t4S. Bzemple. — La pièce est primitivement droite , c'est-à-dire que
— = ; son moment d'inertie I est constant ; sa longueur est l\ on la
coarbe en cercle dont le rayon R = - — = p = const. En ce cas on a
„ El / dx EU „ .„ I
