GL

et, en vertu de l'équation (ô) ,

Par ce ressort on fait donc un moins bon emploi de la matière que par le précédent ; cela s'explique par le fait que la tension maxima n'arrive à la valeur t que dans une seule section, celle pour laquelle le moment a sa plus grande valeur PR. 11 convient donc de donner a'i ressort à hélice conique la forme d'égale résistance. (Voir n^ 103.)

^ 153. Ressort plan à spirale. —

* Soit flg. 83 un tel ressort fixé en A \L et recevant en par Tintermédiaire 1 d'un levier KL l'action d'un couple j dont le moment est PR. Nous sup- / posons que la flexion à une section D quelconque s'opère autour d'un des axes principaux d'inertie , celui qui est perpendiculaire au plan de la figure et que nous avons nomme axe des z^ dans le chapitre précédent. Le moment de flexion au point D est égal à la somme des moments de toutes les forces extérieures

qui agissent depuis ce point D jusqu'à Textrémité de la pièce. Or, parmi ces forces, se trouvent d'abord P, dont le moment est PR, et ensuite les forces nécessaires pour fixer le point et qui seraient égales aux réactions des pivots ; ces dernières nous les nommerons B et C , en conservant les mêmes notations qu'au chapitre précédent. De même par b et c nous représenterons les coordonnées du point D. La composante B aurait pour efiet d'allonger le prisme élémentaire de longueur dlet ayant sa base en D ; nous négligerons cet effet et n'aurons égard qu'à la flexion seulement. Le moment de flexion est P R + B c — C&.

En vertu de la première des équations (96) dans laquelle nous faisons sin j3 = , cos |3 = 1 , et ,1 = const. , nous aurons

PR4-Bc-C& = EI

d'où Fn/dl + B/cdl — cf Ml ^^ El f (^^---^ydl. (b)

Étendons ces sommes à toute la longueur l du ressort et appelons &' et & les coordonnées du centre de gravité du ressort entier, nous aurons

PR^4-(Bc' — C&')^ = Eiy(^- ^)dL (c)

Remarquons que — est l'angle que ncms avons appelé W

dans la théorie générale de la flexion. Soit / ï^ = «, , et le

second membre de l'équation {c) deviendra E I («i — «o) == E I a, expression dans laquelle a représente l'angle dont la spirale a tourné sous l'aj^tion du couple PR, en d'auties termes l'angle dont le levier KL a tourné pour fléchir la spirale. L'équation (c) devient donc

PR-hBc' — C2>'=^-

Au cas particulier où le centre de gravité du ressort coïncide avec le point , les coordonnées ô' et d sont nulles et l'équation (109) devient

PR==EIa^ ^,^^ a = ^^- (109)

Ces conditions se présentent presque exactement quand le ressort est composé d'un grand nombre de s|)ires.

En appelant f la tension de la fibre la plus fatiguée par flexion et w' la demi-épaisseur de la lame, on aura pour calculer la section du ressort , en vertu de Téquation (25),

ensuite a -= — — i d où

PaR

-2Êbw')' ^'^2K^(w)' ^^^^^

Four une section circulaire, T, = --' t~ ;

1 P rectangulaire, T, = ^ j^ ;

le ressort rectangulaire est donc le plus économique.