Hessort A héllee cylindrique torda. — Au lieu
d'appliquer un effort F suivant Taxe au ressort cylindrique
flg. 81 , supposons qu'on le torde par le moyen d'un levier IH
F et des deux forces — donnant lieu au couple PR. L'une des
extrémités, A, devra être solidement fixée par une force dont nous supposerons nulle la composante parallèle à l'axe du cylindre. Nous supposons le pas de l'hélice assez petit en comparaison du rayon r du cylindre pour que l'on puisse considérer comme normale à l'hélice la section faite par un plan contenant l'axe du cylindre, que nous prenons pour axe des z^ ; la direction du bras du levier DI nous la prenons pour axe des œ , et une perpendiculaire pour axe des y. Les composantes de la force qui sert à fixer le point A seront C suivant l'axe des a? et B suivant l'axe des y. Le moment de flexion par rapport à une section M quelconque ayant pour coordonnées œ,y,Zy sera donc
PR + Cy — Bo?.
Supposant le moment d'inertie des sections I constant ,
Taxe neutre axe principal d'inertie, K = et sin(3 = 0, on a, d'après la première des équations (96 ) ,
PR
+ Cy-Ba? = El(-!--i). (a)
Procédant comme dans le cas du ressort précédent , multipliant par dl tous les termes de l'équation (a), intégrant de à /, appelant c\ (a?) et ô', {y) les coordonnées du centre
/If
= «0 ; a, — «0 = a ; nous avons Po
PR + Cô' — Bc'=^. (111)
Lorsque le centre de gravité du ressort est un point de l'axe du cylindre , &' = , c' = 0, et l'angle a est proportionnel au moment PR , qualité importante dans la pratique et surtout dans celle de l'horlogerie. Mais le centre de gravité du ressort ne peut rester sur Taxe que si l'on ramène par un mécanisme convenable le point A et le point d'attache du levier, constamment sur la surface cylindrique dont le rayon diminue par la torsion et augmente par le déroulement. Un grand nombre de spires et une légère torsion établissent à peu près cette situation sans le recours d'un mécanisme spécial. Dans ce cas on peut admettre la formule
PR = ~ia; d'où « = ^^- (112)
et les résultats sont identiques à ceux du n® précédent.
155. Comparons le ressort à hélice cylindrique comprimé (n<> 151 ) et agissant par torsion au même ressort tordu et agissant par flexion (rsP 154). Remarquons d'abord que l'on a , pour les métaux dont on fait les ressorts, approxima-
tivement, ^=5-/'^ ^""g"''^' "g* e"'^'^'
Le ressort comprimé emmagasine au kil. un travail plus grand que le ressort tordu dans le rapport de 3,2 : 1 pour une section circulaire et de 1,6 : 1 pour une section rectangulaire.
i 50. Remarques sur la constmctlon des ressorts en
héliee. — L D'après Redtenbacher , on peut admettre les
coefl3cients d'élasticité suivants, exprimés en kil. par millim.
carré.
Fil de fer 18000 7200
Acier fondu 20000 9600
Acier de qualité moyenne . . 30000 12000
Acier de qualité ordinaire. . 20000 8000
La trempe a pour effet d'élever considérablement la tension maxima à laquelle on peut faire travailler l'acier, mais elle ne modifie pas sensiblement les coeflîcients d'élasticité. Ainsi des ressorts en bon acier bien trempé peuvent fonctionner fort bien sous -une tension qui, pour la fibre la plus fatiguée, s'élève jusqu'à 110 kil. par millimètre carré.
Nous avons, dans ce qui précède, négligé la légère flexion qui accompagne la torsion et la légère variation du diamètre du cylindre. Dans ces conditions les formules ci-dessus ne sont pas toujours applicables si du moins on prétend conserver les mêmes coeflîcients d'élasticité. Nos expériences nous ont amené à la conclusion que, pour les cas ordinaires, ces formules donneraient des résultats acceptables en pratique , si l'on a soin de faire varier le coeflîcient d'élasticité G depuis 8000 pour les sections rondes ou carrées jusque 2000 pour les sections très plates , par exemple dont l'épaisseur n'est que le dixième de la largeur.
II. Pour tirer d'un ressort tout le parti possible , il faut le faire travailler de manière que , lorsqu'il a atteint sa plus grande déformation admissible (extension ou compression), la t( nsion de la fibre la plus fatiguée soit arrivée à son maximum. Cette condition économique donne une troisième relation à laquelle il convient d'avoir égard dans la construction des ressorts.
En effet , si c'est dans le sens du raccourcissement de l'hélice que l'effort P agit, les spires doivent se toucher lorisque la tension maxima t est atteinte. Si donc la section du fil est circulaire, son rayon étant p, il faut que le pas qui était ^
primitivement sous la tension , devienne dgal à 2p sous la tension maxima t^ de manière que la flexion par spire
Onadonc t=I^^l^^ ^^^P ^ii3)
Si c'est dans le sens de Textension du ressort que P agit , les spires doivent se toucher à Tétat primitif lorsque la tension est nulle, et leur pas est alors égal à 2p; le pas, en grandissant sous l'effort appliqué au ressort , prendra une valeur p quand l'effort sera devenu P et alors la tension de la fibre la plus fatiguée doit atteindre sa valeur maxima t. La flexion par spire sera donc encore égale à i? — 2 p et l'on arrive à la même formule (113).
III. Les remarques précédentes nous conduisent à des conséquences importantes au point de vue de la construction des ressorts. Supposons que l'on donne le fll dont on veut faire un ressort , c'est-à-dire les trois quantités p , ^, G ; et de plus l'effort P^ qui doit produire une déformation totale Y". Ces données suffisent pour déterminer le rayon r ou le rap-
port —, le pas p ou le rapport -, et le nombre n de spires.
En effet faisons Q = — - et les équations (a) et (6) n<> 151 ,
rrp*
( 105) et (113), dans lesquelles nous introduisons la valeur
