f.lE5M
Là
Mais 2E5W = 0,
parce que (n^ 24) c'est une quantité proportionnelle à la somme des moments des forces élastiques E^, par rapport à l'axe W W qui passe par le centre d'élasticité. Il en résulte que les tensions Q se composent en un couple unique qui, devant faire équilibre au couple donné X , lui est égal et opposé.
Reste à trouver le plan de ce couple. A cet efl*et, remarquons qu'un couple n'a aucune énergie par rapport à une droite quelconque de son plan, puisque la projection de soi: axe représentatif sur une telle droite est nulle. Si donc il existe dans la section CD une droite par rapport à laquelle la somme des moments des tensions est nulle, cette droite appartient nécessairement au plan du couple X et en est ,
par suite, la projection sur le plan CD. Or, la droite VV, diamètre conjugé à Taxe neutre WW, jouit de cette propriété , car on a
W 20w' = -Y~sin'a2E5î?w? = O,
Là
puisque 2 Est; w?. est le produit dlnertie par rapport à deux axes conjugués de l'ellipse centrale d'inertie (voir n® 31). Donc V V est la projection du plan du couple X et une droite de la section CD, telle que OX, perpendiculaire à VV, en est l'axe représentatif.
Enfin , puisque le couple X et celui des tensions par rapport à Taxe neutre doivent se faire équilibre , on a 16tc == X sin a,
W ou •j-2E5tt« = Xsina;
,. . W X sin a
û+ , ^ X sin a
yo. La quantité lEsu* porte le nom de moment (Vinflexibilité de la section par rapport à l'axe W W. Pour les corps homogènes, elle devient E25w« = EI, I étant le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe W W. Pour les sections homogènes, l'équation (19) qui sert à résoudre le problème I devient donc
- Xsina
11. Il résulte de l'équation (20) que, pour les sections homogènes la fibre s a une tension d'autant plus grande qu'elle est plus éloignée de l'axe neutre; par suite, la fibre la plus fatiguée est la plus éloignée de Vaxe neutre. Si donc nous appelons w' la distance à l'axe neutre de la fibre qui en est la plus éloignée, et/^kil. par mètre carré, la tension de cette fibre la plus fatiguée , nous aurons :
^ Xsina ,
T». La quantité — porte le nom de module de flexion de
la section par rapport à Taxe neutre WW ; et , comme Xsin a est le moment de flexion estimé suivant le même axe neutre , on peut traduire Téquation (21 ) mise sous la forme suivante
I Xsin a , ,
comme suit : Dans le cas de la flexion simple et pour les sections homogènes, le module de flexion est égal au moment de flexion estimé par rapport a Vaxe neutre et divisé par la tension de la fibre la plus fatiguée.
IS. Si le couple donné M*" agit dans un plan contenant Tun des axes principaux d'inertie, Tautre axe principal devient Taxe neutre, et, comme il est perpendiculaire au premier, sina= 1 et les équations (19), (20) et (22) deviennent respectivement
^ = K^vl^-7' ("23)
M t^ jU, (24)
T4. Problème 11. — Étant donné le moment fléchissant X^ agissant seul sur une section d!un prisme homogène y ainsi que le plan dans lequel il agit; connaissant en outre la figure géométrique de la section , déterminer ses dimensions de manière que la tension de la fïbre la plus fatiguée ne dépasse pa^ îhiL par mètre carré.
Puisque la figure géométrique de la section est donnée , on connaît le rapport de ses dimensions, ou tout au moins une seule de ses dimensions reste inconnue. Par conséquent le module de flexion peut s'exprimer en fonction d'une seule de ces dimensions. Celle-ci sera donc la seule inconnue dans réquation (22) qui servira à la déterminer.
Vft. Rxemple. — Nous avons vu n^ 44 que le solide fig. 4 , n^ 22, est soumis à un moment de flexion de 4250 km agissant dans un plan qui fait avec Taxe des y un angle de I51o55' et qui se projette sur le plan des yz suivant une droite que nous appelons VV. L'axe neutre a, par conséquent, la direction WW du diamètre conjugué à VV. Au n® 32, nous avons trouvé que la droite WW fait un angle de 25o6' avec Taxe des z et, par conséquent, Tangle a = 151o55' — 25o6' = 126o49'. La section du solide considéré est rectangulaire (fig. 12) et 6 = 2h, Son moment dUnertie I par rapport à Taxe WW,
I == ^ sin« fif + ^~ co8«>' = 0,01604 &*.
La fibre la plus éloignée de Taxe neutre est au sommet A et sa distance
à. l'axe neutre WW est
. ^ cos ^ + Y sin pf = 0,4385 b.
On en déduit
Ensuite on a X sin « = 4250 X 0,8006 = 3403 km.
La plus grande tension f^= 4 000 000 k. par m. q.
On en déduit d'où 6» = 0,02325;
b 6=:0"»,286 et ^ = -g'
VS. Antre exemple. — La section considérée est soumise à un couple de flexion de 2000 km. agissant dans un plan qui contient un des axes principaux ; on veut que la tension de la fibre la plus fatiguée ne dépasse pas 5,000,000 de kil. par mètre carré.
a. Section circulaire pleine, d
b. Section circulaire creuse, D = 2d . . .
c. Section en losange, diagonales D »= 2d .
d. Section carrée, plan du couple parallèle à un côté
e. Section carrée, plan du couple parallèle à une diagonale . .
f. Section rectangulaire, D - 2d
uf
Trd»
-solidaire des sections est respectivement :
a = 0'nq,0201 , d = 0»<ï,0180 ,
6=0 ,0158, ff = ,0228,
y y. Du solide d^égale résistance A la flexion. — Supposons que le moment de flexion agissant aux diverses sections d'un solide homogène varie suivant une loi donnée , et qu'il ait , par conséquent , pour Tune de ces sections , une valeur plus grande que pour les autres. Si Ton fait en sorte que , pour cette dernière section , la fibre la plus fatiguée n'ait que la tension ipaxima /'voulue , on obtiendra les dimensions de cette section par Tune des formules (22) ou (25). Dans la suite, nous supposerons que le couple agit dans un plan qui contient l'un des axe principaux d'inertie, de manière que c'est la formule (25) que nous viserons seule.
Si l'on donne au solide la forme d'un prisme géométrique ayant pour base la section calculée par la formule (25) , (afin, par exemple , d'économiser la main-d'œuvre) , la fibre la plus fatiguée dans toutes les autres sections aura une tension moindre que /*. Dans ce cas , si l'on suppose que les moments fléchissants croissent continuellement , mais en conservant entre eux toujours le même rapport , il arrivera un instant où la rupture aura lieu , et la rupture se produira nécessairement à la section où le moment est le plus grand. Telle est la raison pour laquelle cette section est dite dangereuse.
Si, au contraire, pour économiser la matière, on fait en sorte que , dans toutes les sections , la tension de la fibre la plus fatiguée soit la même et égale à f , le solide obtenu prendra le nom de solide d'égale résislance à la flexion.
18. Problème lil. — Faisant abstraction de V effort tranchant, supposant le solide homogène y sa fibre moyenne primitivement rectiligne et le moment de flexion agissant dans un plan qui contient Vun des axes principaux dUnertie de chaque section , chercher la forme géométrique du solide d'égale résistance à la flexion dans les cas suivants :
'^ Fig.2,7. 1. Solide encastré à Vune de ses ex-
^ trémités et sollicité à Vautre par une
À ^ ; 1 ^ /brce unique P hil. (fig. 27). Le moment
Vj 1 L J t\is fl/^-vîrvTi /1CI+ "D /y»
^-^-"TT— 3c---i de flexion est Po?.
I In A. Section circulaire pleine ; rayon y .
Module de flexion ——
ttR»
PI f
Le solide de révolution a pour méridienne une parabole
cubique. Forme approchée avec section dangereuse à Ten-
castrement , un tronc de cône de révolution engendré par
la touchante en A à la méridienne et dont la petite base en
B a pour rayon - R.
B. Section rectangulaire, dont la base est constante et égale à b , hauteur 2 y.
Module de flexion -by*.
2 , , Pa?
Le profil longitudinal est une parabole du second degré. Forme approchée, un trapèze avec petite base égale à la moitié de la grande qui se trouve à l'encastrement.
C. Section rectangulaire dont la hauteur h est constante. Base2y.
Module de flexion -^ •
Prisme dont la base est un triangle isocèle.
D. Section rectangulaire dans laquelle le rapport de la base 2y à la hauteur 2z est constant et égal à n.
Module de flexion -^yz* =- — nz^.
4 , Pâ? \
Le profil longitudinal projeté sur le plan horizontal ou sur le plan vertical présente la forme d'une parabole cubique. On peut remplacer les projections par des trapèzes dont la petite base est égale aux deux tiers de la grande , et dans ce cas il y a une section daDgereuse à Tencastrement.
Flg. 28. 2. Solide encastré à une extrémité
^ et sollicité par une charge unifor-
Tl — I — rn — P ^^^^^^ répartie le long de la fibre
111111 moyenne àraisonde^kiL par mètre
courant. (Fig. 28.) Le moment de
flexion est ^-r- •
A- Section circulaire pleine , rayon y.
Tzy^ __PJ^
B. Section rectangulaire dont la base est constante et égale à b ; hauteur 2y.
pi*
lby*=
3 'zr
C. Section rectangulaire dont la hauteur h est constante. Base 2p.
D. Section rectangulaire dans laquelle le rapport de la base 2y à la hauteur 2z est constant et égal à n.
Forme approchée : un tronc de pyramide dont la grarde base, àTencastrement, est un rectangle ayant pour base 2nh et pour hauteur 2h ; la petite base à Textrémité libre de
la pièce a pour dimensions — — . et -r- • 3. Le solide repose sur deux appuis de niveau placés
«. Fig.2Ç, ^ aux eœtré?nités A et B{ûg. 29),
M r-:r~~*î ' ^^ supporte une charge ver-
a \ I \o __^ ticale unifo^^mément répar-
^ tie sur toute la longueur 1™
/ ^ delà fibre moyenne , à raison
de p kil. par m. courant.
Comme il y a nécessairement équilibre entre les forces extérieures (n^ 38 \ à cause de la symétrie, chacun des deux
P l appuis doit supporter la moitié de la charge totale ou —-.
Il s'ensuit que le moment de flexion de la section C D située
à la distance x"^ du point milieu de la pièce se compose
du moment de la réaction au point A ou ^ ( -- — a?) et
du moment , en sens contraire , de la charge uniformément
répartie sur la longueur /— — ^) ou p {-r — d? i •- \ — —oc\.
Pour une section circulaire pleine de rayon y, on aurait ny^ p /l*
ttY»
Cet exemple suffit pour montrer comment on peut traiter les autres.
4. Le solide repose sur deux appuis placés à des distances c égales des deux extrémités et il supporte une charge 2 P en son milieu et une charge P à chaque extrémité. Sa section est circulaire pleine, (Fig. 29 bis. ) 2Pj. Fig. 29. bis
Entre A et B, le moment M, = Pa?, - BetD, - M M4== — Pa? + 2Pc.
La symétrie dispense de faire a? > AD ou > — •
Donc -|-=a?, ^
ttR» p m/» = R» — ' entre A et B.
ttR» p
entre BetD.
On voit qu'au point Coù ^ = 2c, 2/==0et qu'au milieu
a? = ^, R' est donné par R'» = R» — ^-
Forme approchée : tronc de cône AB ; rayon en A , — R;
BC , le même tronc de cône placé en sens inverse ayant en C
un rayon égal à — R ; entre C et E , un cylindre ayant R'
pour rayon. Exemple essieu de wagon.
79. De la section dangereuse ponr la flexion. — Non» entendons par là la section pour laquelle le moment de flexion est le plus grand; nous faisons donc abstraction de tout effort tranchant et nous limitons la question au cas des solides géométriquement prismatiques et homogènes.
Dans le cas où un solide, reposant sur deux appuis, est primitivement rectiligne et supporte uniquement des charges normales à sa fibre moyenne et agissant toutes dans un même plan qui la contient , la recherche de la position de la section dangereuse et de la valeur du moment fléchissant en chaque point est facilitée par l a[)[)lication du théorème suivant.
SO. 'l'héopéme. — Dans le cas où un solide homogène , primitivement rectiligne et reposant sur deux appuis de niveau, est soumis à des charges réparties d'une "tnanière quelconque^ mais toutes verticales et agissant dans un même plan qui contient la fibre moyenne , le moment fléchissant à une section quelconque est égal à faire de la portion du diagramme de f effort tranchant comprise entre cette section et lune des extrémités de la pièce.
Soit (flg. 30) AB la fibre moyenne d'un solide reposant sur les appuis A et B et soumis à des forces verticales agissant dans le plan de la figure et que nous appelons P, , P„... Les réactions des appuis sont déterminées par les deux relations qui expriment 1® que la somme algébrique de toutes les forces est nulle ; 2° que la somme de leurs moments par rapport à un point quelconque du plan est nulle également. Connaissant par là les réactions , on calcule : !<> Teffort tranchant T*^ à une section CD quelconque, par cette condition qu'il est la résultante de tous les efforts normaux
extérieurs agissant depuis la section considérée jusqu'à Tune des extrémités E de la pièce , et 29 le moment fléchissant M^°^, à la même section , par cette condition qu'il est égal à la somme des moments de toutes les forces extérieures agissant depuis l'extrémité E jusqu'à la section considérée, ces moments étant pris par rapport au centre d'élasticité de cette section.
Or, supposons que les charges P|, P,, F,,... agissent en des points situés à des distances respectives a?*, a?, , a?5, .. de Torigine E, et que la section CD soit à une distance variable x de la même origine. Les réactions n'agissant pas autrement que les forces F, nous ne les désignerons pas par une lettre spéciale. D'après ce qui vient d'être dit , on a (* )
T = rF,
et
Si l'on place la section C D entre les points d'application de F| et de F, , l'effort tranchant est simplement F| ; par conséquent, entre les points E et A, le diagramme de l'effort tranchant est une droite G H parallèle à l'axe EF. Si l'on place la section CD entre les points A et N d'a[»plication des forces Fj et F5 , l'effort tranchant sera égal à la somme algébrique des forces extérieures F, et F,; et , par suite , son
diagramme sera une droite IK parallèle à Taxe E F et à une distance P| -f-P,. Et ainsi de suite.... Le diagramme de l'effort tranchant sera donc composé de portions de verticales et d'horizontales, comme l'indique la double ligne EGHIKL
Si Ton considère comme positifs les efforts tranchants représentés par les ordonnées au-dessus de E F, il faudra considérer comme négatifs ceux qui sont représentés par des ordonnées situées en dessous de EF.
Quant aux moments celui de la force F, par rapport à la section CD est P, (â:; — a?,) (*) produit égal à l'aire du rectangle EGC'D. Le moment de F, est P, (a? — a?,), produit égal à l'aire du rectangle HICC. Le moment de Pg est — Pj (00 — x^), produit égal à l'aire KLCC" qui doit être considérée comme soustractive. Ainsi de suite.. . La somme algébrique de ces moments ,
P, (0? — iz?, ) -t- P, (0? — a?, ) + Pj ( 0? - .a?, ) ,
égale au moment fléchissant M , est donc représentée par Taire EGHIKLCC'DE de la partie du diagramme comprise entre l'extrémité E de la pièce et la section CD.
Si les forces étaient réparties suivant une loi quelconque donnée, le diagramme de l'effort tranchant cesserait d'être composé de portions de droites verticales et horizontales ; ce seraient des droites inclinées ou des portions de courbes ; mais la propriété de l'aire d'être égale au moment fléchissant n'en subsisterait pas moins, car elle est indépendante de la figure géométrique de l'effort tranchant.
Cela posé, il est nécessaire d'admettre que les aires situées au-dessus de l'axe EFontun signe contraire à celui des aires situées en dessous.
Nous avons choisi arbitrairement l'extrémité E de la pièce pour point de départ, nous pouvions prendre l'extrémité F, et le moment fléchissant que nous aurions trouvé aurait été le même , au signe près. Il en résulte cette propriété remar-
( *) En choisissant le point E pour origine, on a a?, — 0.
quable de Taire de reflfort tranchant, que toute section CD la divise en deux parties équivalentes, et encore que la somme des aires positives du diagramme de V effort t7*anchant est égale à la somyne de ses aires négatives ; ce qui n'est qu'un autre énoncé de la seconde des conditions d'équilibre entre les forces extérieures.
De là résulte que le diagramme de l'effort tranchant doit nécessairement rencontrer au moins une fois l'axe EF. S'il ne le rencontre qu'une fois, en X par exemple, à ce point de rencontre se trouve la section dangereuse ; car si l'on fait voyager la section CD depuis l'extrémité E de la pièce jusqu'en X, l'aire va en croissant jusqu'à ce point; mais au-delà de ce point, l'aire devenant négative, le déplacement de la section C D a pour résultat une augmentation de la partie soustractive du moment de flexion. Ce moment augmente donc jusque X et diminue à partir de ce point. Donc , au point X , il passe par un maximum de valeur.
Si le diagramme de l'effort tranchant rencontre l'axe EF, en plusieurs points, en chacun d'eux le moment fléchissant passe par un maximum de valeur. Mais parmi ces moments maximums , il y en a un i)lus grand que les autres et qui indique la position de la section dangereuse.
SI. De IVncastremeiit. — L'encastrement a pour but de donner à l'extrémité de la fibre moyenne une direction déterminée. Pour produire cet effet, on y applique un couple appelé couple d'encastreme7it, dont la grandeur dépend des conditions dans lesquelles se trouve placée la pièce
encastrée.
Soit ( fig. 31 ) une poutre EB , soumise à la force P^ appliquée à son extrémité libre E, et prolongée jusqu'en B dans un creux pratiqué dans le mur M. La force P tend à faire tourner la poutre autour du point A avec une énergie représentée par le ^^ moment P/. Si l'on veut empêcher
cette rotation et maintenir la poutre dans la position B E ,
il est nécessaire d'opposer au couple PI un autre couple égal P'^ amené par la réaction du mur en G. Ce couple P7' est le couple d'encastrement. Son existence suppose que la poutre est prolongée dans le mur jusqu'à une certaine profoi^deur ; plus la longueur de la partie encastrée sera considérable , moindre sera la réaction qu'il faut appliquer au point G. Nous ferons remarquer en outre que le point A doit offrir une réaction égale à F + P' et qui, par conséquent , dépend de la longueur de la partie encastrée. Pratiquement les réactions P' et P + P' sont à peu près uniformément réparties le long de la partie encastrée.
H9. Extension an cas de rencastrement , de la propriété de l'aire do diagramme de l^elTorl Iranehanl. — Si l'on se donne la longueur de la partie encastrée , et si Ton connaît le moment d'encastrement, on pourra, sans inconvénient, considérer les forces du couple comme agissant aux extrémités de la partie encastrée. Alors il faudra regarder cette partie comme appartenant à la pièce, et uniquement soumise à ces forces jusqu'à la section d'encastrement non comprise, et tracer par cette considération le diagramme des efforts tranchants. Dans ce cas , la section dangereuse se trouvera encore à l'un des points où ce diagi'amme rencontre l'axe. Dans la figure 32 , nous avons donné un exemple ■^^de ce procédé qui montre que la section dangereuse se trouve à l'encastrement même.
HS. Remarque. — Si l'encastrement était trop court , la force P' deviendrait assez grande pour que la réaction P 4- P' au point A obligeât à tenir compte de l'effort tranchant dans le calcul de la pièce ; ce qui ne rentre plus dans les hypothèses précédemment admises.
S4. Recherche de réiasUqne et des flèches de flexion. — La recherche des déformations que subit la fibre moyenne d'un solide soumis à la flexion , constitue l'un des problèmes les plus ardus de la résistance des matériaux. Mais
FigSi.
