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lorsqu'il ne s*agit que de la construction des machines , on peut, sans commettre d'erreur préjudiciable, introduire certaines hypothèses qui simplifient considérablement les questions et n'ôtent pas à leurs solutions l'utilité pratique. Nous n'aborderons ici que les problèmes susceptibles de ces simplifications.
Problème IV. — Quelle est la courbure affectée par la fibre moyenne d'un prisme élémentaire homogène primitivement rectiligne, dont la section est soumise uniquement à un moment de flexion agissant dans un plan qui contient l'un des axes principaux d'inertie, dans Vhypothèse où la variation de longueur de la fibre 7noyenne élémentaire est négligeable.
Soient (fig. :^3), AB et CD deux sec- ^ tig.oo. ^ ^. tions indéfiniment voisines comprenant le
3"jr prisme élémentaire considéré qui a une Q longueur primitive \}^ conservée par la fibre moyenne 00' après flexion; CD' la position nouvelle de la section CD après
f ^ flexion , c'est-à-dire après qu'elle a tourné
i / d'un petit angle ¥ autour de l'axe neutre
1 /(? projeté au point 0, sous l'influence du
j / moment de flexion M ; E , le point de ren-
I / contre des deux droites O'B et OD' qui
; / sont restées normales à la fibre moyenne ,
^V ce dont il faut conclure en toute hypothèse
que ÔE == p est le rayon de courbure de la fibre moyenne
au point ; 5 , la base d'une fibre élémentaire située à l'unité
de distance de l'axe neutre ; s\ sa position après flexion ,
et , par suite is> = V , sa déformation totale.
L'allongement proportionnel de la fibre s sera donné , en vertu de l'équation (18) par
L "El*
Googk
Or, la siinilitiide des triangles OOE et s/'sO donne lieu à la proportion
1 M Donc — =— =
p El
\dx
Telle est Téquation qui permet de trouver la courbe affectée par la fibre moyenne fléchie, et qui porte le nom d'élastique. On la simplifie par cette considération que les déformations ne peuvent jamais être très-grandes en pratique , puisque , en aucun cas , les tensions ne peuvent atteindre les coefficients de résistance. SU en est ainsi , le
carré du coefficient angulaire de la touchante ou ('^\ est ,
dans les limites de la construction, négligeable en présence de l'unité , et Téquation précédente devient simplement
M Ei*
S5. Applications. — On demande de rechercher la courbe élastique dans les cas ci-après, où l'on suppose le solide primitivement rectiligne et homogène; abstraction est faite de V effort tranchant.
r,. A. Le solide primitivement pris-
^' ' matique, encastré à Vune de ses
91^ . extrémités , est uniquement soumis
^, à une force normale P^ appliquée à
l'autre extrémité, (La figure 34 donne
^ les diagrammes de Teffort tranchant
et du moment de flexion. )
Soient : A B la fibre moyenne primitive ; A , l'origine des coordonnées ; 4— *~t^ AB, Taxe des x\ une perpendiculaire
pour axe des y. Le diagramme de TefTort tranchant montre qu'à la section CD, le moment de flexion est Pâ?. Donc
dœ* El '
Les deux constantes C et C, introduites par l'intégration
seront déterminées par les conditions de l'encastrement ;
. du pour œ-^ l, î/ == et 3^ === 0.
D'où
f-+CetC=-f:
= |-| + C'etC' = | Donc l'équation de l'élastique est
^~ËÏ\6" "2"+ 3/
1 P^' A ^ = correspond Y = - -=p •
On voit aisément qu'à mesure que œ croît, l'ordonnée diminue jusque 0, valeur qu'elle atteint quand œ -= L Donc la plus grande ordonnée est celle que nous avons désignée par Y; elle porte le nom de flèche de flexion,
B. Même cas, mais au lieu d'un prisme géométrique , la pièce présente la forme d'égale résistance; les sections étant rectangulaires et à hase constante.
Soit 2^ la hauteur de la section rectangulaire située à la distance œ de l'origine; cette hauteur (n<* 78, B) a été calculée par
^^""^ '=\/ÏÏf'^
De l'équation -,=^, ondéduit ^=-^=-^.
Donc ^ = ^=±i/^— •
dœ» El E V 3P y/^
Les mêmes conditions que précédemment donnent G = '-2\JT et C'=-H-|W^
Donc 2^ = E Y^^ (|a? V^- ^^1 + 1 ^0 *
Le moment d'inertie à la section d'encastrement , le même que dans le cas précédent (A), est égal à
la constante sous le radical peut donc être remplacée par
FlVT ^ :i Donc
Et la flèche de flexion, valeur de y pour a? = est
le double de la flèche obtenue dans le cas précédent du solide prismatique. (Voir n° 61.)
C. Le solide donné est prismatique (I^const,); il repose sur deux appuis de niveau et est soumis à une
charge P^ agissant à la dista7ice c de l'appui de gauche.
.^ ^ ^^ ^' (La figure 35 donne les dia-
ff grammes dereffott tranchant et du moment de flexion ; même observation pour les figures suivantes. )
Les résistances des appuis A et B sont respectivement
::^bR = F
Le diagramme de l'effort tranchant l'ait voir qu'entre les points A et E le moment de flexion est
et , entre les points E et B.
M, =Rc? — Rj (a?
c) = Fjil — a))'
Il faut donc résoudre le problème pour chacune des deux portions du solide.
Entre A et E
dy dx
-eT-T^'
> -lî^(^+'=-+^')
Entre E et B
dx*
= -|rT(^-'^)'
P c i IX* X* , „ , rv \
Les constantes seront déterminées par les conditions suivantes qui sont données : y = pour a? = et pour x = l. Pour œ = c, l'ordonnée de la première courbe est égale à celle de la seconde , et la touchante est aussi commune aux deux courbes. On a donc
C' = 0, ~^^ + C,/ + C', = 0, d'où C^ = -|~C,^,
Doù
Ic^
Donc les équations précédentes deviennent :
— il £î r^* c(2/~ c) 1
P C| ra?»c(2/— c?) 1 EITLô 6" ^J'
dy dœ
rf^"El7r^ 2 P cpo?* x^
Pour c> Cl, la touchante est horizontale dans la région AE en un point dont Tabscisse est
x=v/£«^).cVi+|
~ 66 - Pour c =^c\ X == c,
La flèche est la valeur de p correspondante à X :
pc,c» /^ . çiy/t
9\/3EH \ ^ c / Le moment est le plus grand au point E où sa valeur est.
Fig.56,
D. Le solide donné, prismatique et horizontal repose sur un appui à l'une de ses extrémités A (flg. 36), et il est encastré à Vautre extrémité B. // est chargé d'un poids P*^ à la distance c de V encastrement.
Le diagramme de Tefifort tranchant ne peut être complété qu'après le calcul des réactions Ret R' aux appuis et du moment d'encastrement m. Toutefois, on peut tracer la figure en faisant en sorte que Taire A E , augmentée de celle qui représente le moment m , forme une somme égale à Taire négative E B , pourvu que A K représente R', HI représente P et LB représente R. En prenant le point B pour origine des axes des coordonnées , on a
Entre B et E M = Rœ — m ,
Entre E et A
M =Rc — m — R'{a7 — c), M = Pc — m — ;P — R) 0?.
dp dx
Les conditions données sont : j^ = pour a? = et pour
^ = /; ~ = pour a? = ; pour a? = c, Ty et le ^ de la
portion B E de la courbe ont des valeurs égales à celles des mêmes quantités pour la portion EA. De plus, Téquilibre entre les forces extérieures donne lieu aux deux équations
P = R-hR', Rc — R' (/ — c) — m = ;
soit en tout 7 équations de condition qui feront connaître les 4 constantes C, C\ C| , C\ , introduites par llntégration , et les trois inconnues R, R' et m. Les résultats sont les suivants :
/n = Pc
Il y a un point d'inflexion là où le moment M s'annule, c'est-à-dire pour Ra — m = o. Si Ton fait -r- = ^, on trouve
L'ordonnée est maxima à une distance b de l'origine donnée
par ^"""1 mô + C,
si cette équation donne pour b une valeur plus petite que c , ou par = (Pc-m)6'-(P-R)-2-+C,, dans le cas contraire. Puisque C = , on a
d'où
ou ft' = Z-.yz«.
Eiempic— Pour ^ = 2,onaR=.^P;R'=^P;m= — PZ;
a=^ — l\ h^=2a = 1 > -T^ est inadmissible ; donc on a
E. Le solide donné, prismatique et horizontal, est encastré à ses deux extrémités et supporte une charge de V^ appliquée à la distance c de l'une des extrémités,
(Fig. 37.)
Les résistances verticales âux sections d'encast^aoïient sont R = -~ , Rj = — •
En appelant m le moment d'encastrement en A , ôé point étant pris comme origine , on aura
Entre A et E
dœ* El \ / /
dy 1 /Pc. , . r, \
dx Kl\ 2/ */
Entre E et B
Pc M = Pc — m — j-œ^
d^y 1 /,, Pc \ T^= ïTî (Pc — m r^)»
^^ El \ l / ......
1 /Pco?' ma?' Pc , , ^, . ,,,\
Les constantes sont déterminées par les condition» sul-^
vantes :
dv Pour a? = Oona«/ = 0, ~-=0.
dv
dx
n iz? = c « {^\ entre A et E = (^) entre E et B.
Ce qui donne
etm = V ^^
Ainsi les dernières équations précédentes prennent la forme suivante :
Entre A et E dy dœ
1 PC| x^
1 Pc, rr.
^ ~'ei / ¥ IJ 2/'
et entre E et B
rf2/ 1 Pc/ Ci^^£i\ "KÎ"rV^~2"^ 2 2/'
1 Pc //«r« CiO?' â?» cl Z» , c^\
dœ ^ ~ ÊI T \~2
Il y a inflexion aux deux points dont les abscisses sont 0?' et a?", données par i' A ^„ aj» ^ = 0,
ou
(Pc-
La flèche de flexion se produit au point pour lequel -p = o, ce qui donne ou bien a? = ou x = c, ou bien
C 'T*' cl
Ico —-^ x — '-T — -H-^^» soita?= loxji x^c.
Les solutions a? = et a? = / correspondent aux deux sections d'encastrement. Il ne reste donc que la seule solution â? = c, qui donne
\2l' Fig.38.
EX
rP
F. Le solide donné, prismatique et horizon- ^tal, repose sur deux appuis placés à des distances égalescde
*^ses extrémités
auxquelles sont appliquées deux forces égales P^
(fig. 38).
Les réactions des appuis sont égales à P chacune.
Le diagramme de Teffort tranchant montre que, entre
C et A , le moment de flexion est égal à Fœ ,
AetB,
» » Pc,
BetD,
On a donc
Entre C et A
dx* El ^'
dy P (X* \
Entre A et B
d*y Pc dx* El'
ax- EI<^ + ^'^' Entre B et D
El (2'
Les constantes sont déterminées par les conditions suivantes :
Pour^ = c. î/. = o, î,. = o, ^ = ^',
Poura.==c+^ ^.. = 0, i,. = o. ^ = ^.
qui donnent
Or
La touchante est horizontale au milieu de la portion AB , et Tordonnée a pour valeur en ce point
* El 8 '
Les ordonnées extrêmes ont pour valeur
Y = ^ g* (3/ + 2c) • El 6 '
Les ordonnées extrêmes et celle du milieu seront égales si Ton fait
-^ = — (k'TB — s) = 0,2175 environ.
Lorsque ce rapport est plus grand que 0,2175. les ordonnées extrêmes sont plus grandes que l'ordonnée moyenne.
A part le signe, Tinclinaison de la touchante aux extrémités est
G. Le solide prismatique est encastré à Vune de ses extrémités , libre à Vautre et soumis à une charge uniformément répartie de p*' par mètre courant, (Fig. 39.)
Nous prenons A pour origine des coordonnées , AB pour axe des X et une perpendiculaire i*pour axe^desi/.
Le moment de flexion à une section quelconque est égal à V^K ^P ô"- ^^ 2. donc
dx' 2EI '
dp p /a?» \ rfo? 2EI\3'^ /
''-ifr(§+<''"+'')-
Les constantes C et C sont déterminées par les conditions suivantes : pour œ = l, y = Oet-p- = 0.
Donc ^+c = 0,
^ P^lCc^^n)
La flèche
El 8'
Le coefllcient angulaire de la touchante au point A , à part
le signe ,
tg « =
