EI \ 6 12 "TT
La touchante est horizontale au milieu de la poutre , car
-^ = donne (2â7o — 0(2a?o» — 2^a?o — /') = 0, d'où
2 a?o — ^ = 0, puisque le second facteur égalé à zéro donnerait Xq > L
La flèche de flexion est — Y = — -- -~=r- •
384 El
Le coefficient angulaire de la touchante aux extrémités ,
à part le signe , est
pl^
tga:
24 El
L Le solide prismatique est encastré à V extrémité B et repose sur un appui à V extrémité A, Il est soumis à une
charge uni fomiement réfPartie de p^ par mètre I^ courant. (Fig. 41.)
^ Les réactions R et R', ainsi que le moment d'encastrement m sont , parmi les inconnues. De plus, l'intégration introduira deux constantes à déterminer. Il faut
iyj donc qu'il y ait cinq conditions données. Ces conditions sont
X AE — Rx BE + 2m
= pour a; = 0.
= pour x = l.
= pour x = l.
Prenant le point A pour origine,
on a successivement :
dx* El\r^ 2/'
dy 1 / R'a;* px^ ±.n\ dâJ~El\ "2 6 "^ r
La condition y = pour a? = donne C = 0.
^ y==0 . a? = Z . C^ ^ + fr-
On peut donc mettre :t^ sous la forme ax
dy dx
ElV 2 6
La condition ^ "= pour a; = / donne R' = 5 pl- La condition ( 1 ) donne ensuite R==-pl,
Et la condition (2) , ^ = "V '
On peut encore mettre -^ sous la forme
^ = ^ JL (9 ^a?« - 80?» - ^»).
da? El 48 ^ '
Et Ton voit en divisant le second membre par œ — l que
-z^ s annule encore pour o?' — 0^ ~ s~ =" ^» ^"
CtCC 8 8
La flèche de flexion est, en conséquence ,
Y = -^ ûOfn (^3lœ*m — 2a?»m — l^y pi*
Approximativement — Y =
185 El
Il y a inflexion au point Xi^jl où le moment de flexion
passe par zéro.
Le moment de flexion passe par un maximum de valeurs en deux points, le point E et Tencastrement B. Au point E,
., , ., R'xÂÊ 9 „ il vaut Ue = 2 ^128^'
1 fi à Tencastrement , M& = -— pi* > M* ,
C'est donc à Tencastrement que se trouve la section dangereuse.
Fig. 4^.
K . Le solide donné, prismatique, horizontal, encastré à S ses deux extrémités, estsoumisàune charge uniformément répartie de p^ par mètre courant '^ ^ (fig. 42).
Les résistances verticales aux sections
pi
d'encastrementsont égales à—- Et en appelant m le moment d'encastrement , le même aux deux extrémités , prenant le point A pour origine, on a successivement
rfa?« EI\2 2 /'
Les conditions propres à déterminer les constantes sont : Pour .T = 0, 2/=»0 et -5^ = 0, d'où C = C = 0.
et 41^ = 0, d'oùm = ^.
dx 12
La touchante est horizontale au point x ^ — et la flèche
Pl'
384 El
Le moment passe par un maximum de valeur aux extrémités A et B et au milieu C. Aux points A et B , il a pour
valeur ^ et au point C , — • C'est donc aux encastrements
que se trouvent les sections dangereuses.
Le moment est nul et Télastique a un point d'inflexion aux
points où |- (^5P — ^•) — ~ ^* = 0,
soit aux points I et F ayant pour abscisses respectivement
Xi =0,296/, X^ = 0,704 î.
L. Le solide donné , prismatique et horizontal, repose sur deux appuis placés à des distances égales c de ses ealrémités, et est soumis à une charge uniformément répartie de p ML par mètre courant, (Fig. 43.)
[""-:;;- ^ rx
Fi0.4'3.
FiffA4-
Chaque appui supporte la moitié de la cliarge totale — - = -^(2c-F l). La symétrie permet de s'arrêter à la
recherche de l'élastique pour les deux portions AB et BC du solide seulement. Le point A est pris pour origine. I/indice 1 se rapporte à la portion A B, et 2 à la portion BC.
Entre A et B, on a M, = ^-^ et , par suite , dx» 2EI •
dy p /x* \ rf^~2ËllT + W'
^ = 2lî(S + ^'-+^'')- Entre B et C, on a M, = ^ {jc« — La; 4- Le) , et
dx* 2EI \ I
dy p /x» La;» \
dF = 2ËiiT — ^+^'''^"^^'^
p /ac* La;» , hcx* , ^ , ^, \
Les conditions qui déterminent les valeurs des quatre constantes introduites par Tintégration sont :
Pour. = c. ,. = 0, ^, = Oet ©, = (f)^;
Poura; = L — c, y» == 0.
Elles conduisent aux valeurs suivantes des constantes :
C, =^(L*-6Lc + 6c'),
C',=-^(L»-6L'cH-6Lc'+c»).
C, = - ^(L»-6L'c+ 4Lc*+c»)=— ^(L-c)(L'-5Lc— c').
La touchante à l'élastique est horizontale aux points pour lesquels (-J^) = , ce qui donne les trois valeurs de x ,
D'où Ton conclut que si L est > 4 c, ou / > 2 c, la courbe s'infléchit deux fois entre les appuis B et C et prend la forme flgurée fig. 46,
FiffMÀ
pourvu que les valeurs de x^ ne sortent pas des limites c et L — c , c'est-à-dire pourvu que
^L~-4c .. ^L 3__soit<-
ce qui revient à
<2 + V^6 ou < 4,449.
La courbe fig. 46 a été obtenue en faisant L = 4,2 e. L'élastique coupe quatre fois l'axe AD aux points B et C pour lesquels a; = ceta: = L — c,et aux deux points
* = -^jl±V 5-20^-4 (9' j=-^i0.2236c.
Dans ce cas particulier a?, = -- i 0,7937 c, soit 2,8937 c et 1,3063 c. Les valeurs des constantes sont
C'.^ific*,
C'.= M!le*.
Les ordonnées extrêmes et maxima pour X = 0,
pour X = X,
pour ^ = j- Y,
Yo = H- 0,694 -^ Y, = — 0,042 + 0,00756
