CHAPITRE VIII
SDR LE CALCDL DES ENTELOPPES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES ET DES FONDS PLATS (i).
iiB. — Enveloppe cylindrique, grande pression à V intérieur, — Soit (fig. 57) un cylindre creux, fermé à ses deux bouts par des fends d*une solidité indéfinie; renfermant un fluide capable d'exercer en chacun des points de la surface intérieure une pression de P kil. par mètre carré; [jlongê dans un fluide exerçant en sens contraire, mais toujours dans la direction des rayons, une pression de P' kil. par mètre carré. Nous supposons d'abord P > P'.
Fig. 57.
Ti p: R D
(1 ) La méthode suivie est celle de M. le colonel Devos , Cours de construction, 1879.
A l'état primitif le métal de Tenveloppe cylindrique n'éprouve aucune extension ni compression. L'effet des jjressions P est d'augmenter le rayon intérieur et de ])roduire ainsi une tension tangentielle sur les fibres circulaires , tension qui varie d'une fibre circulaire à la suivante d'après son rayon r. Les pressions P' diminuent cet effet. Mais ces mêmes pressions normales et de sens contraires ont un second effet qui consiste à diminuer l'épaisseur dr des fibres circulaires, et par suite aussi l'épaisseur R'— • R. Il en résulte que les fibres circulaires éprouvent chacune une certaine tension tangentielle ou longitudinale que nous appellerons i pour la fibre de rayon r quelconque variant de R à R'; T pour la fibre intérieure de rayon R; T' pour la fibre extérieure de rayon R'; et en même temps une compression transversale, normale à la i)récédente, qui est P pour la fibre de ray(m R, p pour la fibre de rayon r et P' pour la fibre de rayon R'.
Les tensions sont toutes exprimées en kil. par mètre carré; les dimensions , en mètres; nous considérerons une portion de cylindre d'un mètre de longueur , comprise entre les plans CI) et CD'. Sous les influences diverses que nous venons de faire connaître, le cylindre tend à se rompre suivant le |>lan projeté en AB et compris entre les deux sections d'un mètre de longueur projetées en A A' et BB'.
114. Problème I. — Dans les conditions ci-dessus énoncées , chercher la tension longitudinale ienun poifU quelconque des sections A A' et BB'; et la compression transversale p au même point La matière est supposée homogène.
Nous ferons usage de la propriété suivante : Lorsqu'wu circonférence de cercle de rayon r supporte une pression normale en chaque point et uniformément répartie à raison de p hil. par mètre courant , Veffet de ces pressions sur une demi-circonférence estimé parallèlement à une direction perpendiculaire au diamètre est p.2r; en iX autres termes, il est le même que si la pression-})
s'exerçait normalement sur le diamètre seul (l). Nous regarderons cet effet comme réparti en deux parties égaies aux extrémités d'un même diamètre.
Cela posé, si nous considérons le$ fibres comprises entre les rayons R et r, la résultante des tensions longitudinales qu'elles éprouvent est égale à
PR — pr.
Mais t étant leur tension longitudinale par mètre carré ou par mètre courant du rayon (puisque nous supposons que chaque fibre a un mètre de longueur) , la tension d'une fibre d'épaisseur dr sera tdr, et la résultante des tensions tdr, qui doit être égale à PR— i?r, sera la somme de quantités analogues à tdr, prise entre R et r. On a donc
PR— pr == ltdr\ •il
ou — d(pr) ^ tdr, (a)
A cette première relation entre Pyt eir s'en ajoute une seconde par la considération de la diminution de l'épaisseur des fibres due à leur compression. La comprei^sion totale
d'une pièce d'uu mètre de longueur serait ■— , E étant le
coefiScient d'élasticité; la compression d'une pièce de dr
P mètres d'épaisseur sera donc — dr, c'est-à-dire que la diuii-
fi
nution totale de l'épaisseur entre les rayons primitils R et r
doit être
ïï/^^''-
Fiff.59. d
(1) Démonatratlon ■•mmalre. — Flg. 59.
La force cherchée est
2 ÊH = i F sin a = 2|) . AB sin a «=p S AB sin « =2îi:CD =j).2r. c. 4. 1*. U.
Nous pouvons en obtenir une autre expression. L*épaisseur primitive était r — R. Or, la fibre circulaire , qui avait primitivement r pour rayon et 2Trr pour longueur, s'est
allongée de — par mètre courant et, par suite, de 27rr -= au
total. Elle a donc actuellement pour longueur 27rr A + — ^ ; et , comme elle est restée circulaire , son rayon est actuellement r {\ +^) • De même la fibre , qui avait primitivement
R pour rayon , a, après déformation , un rayon R (l 4- — ) •
Donc l'épaisseur totale , qui était r — R à Tétat primitif, est devenue à Tétat déformé
et, par suite, la diminution d'épaisseur est
On a donc
<roù — rf ( ^r ) == 'pdr, (b)
Développons les équations fondamentales (a) et (&) , additionnons-les membre à membre , puis soustrayons-les , nous arriverons aux résultats consignés dans les équations suivantes :
pdr + rdp + tdr =^ 0, td7^ + rdt -{-pdr= 0, d'où dt — dp == ,
t — p = const. = T — P = T' — P'. (c)
Ensuite 2{t -\- p) dr -\-r [dt -\-dp) ^0,
r t-^-p r« {t + p) =const. = R»(t + P) = R'« iT' h-P') {d)
Enfin, des équations (c) et (d) on déduit :
équations qui forment la solution de la question.
1 1 5.-— Le diagrammine des valeurs de t eip^ tracé fig. 58, montre nettement comment ces quantités varient avec le
rayon. La courbe {t)esi du genre hyperbolique; elle a pour asymptotes Taxe des ij d'une part et d'autre part une parallèle à Taxe des x située à la hauteur
Pi = -j
La courbe (p ) est identique à la précédente que Ton aurait descendue parallèlement à Taxe des p à une distance T — P en dessous de la première. Elle a donc pour asymptotes Taxe des y et la droite
Il s'ensuit que la fibre la plus fatiguée est celle dont le rayon est le plus petit^ c'est-à-dire la fibre intérieure de rayon R , et sa tension est*T.
1 lO. Enveloppe eylindriqae , grande pression à Vexr térienr. Même problème I.
La tension t qui , dans le premier cas, était prise avec le signe positif, était une extension ; dans le cas présent, c'est une compression ; donc il faut changer le signe de t.
Ainsi les équations (a) et {b) deviennent respectivement
d(pr) = tdr, (a')
d (tr) ^pdr, (b')
On en déduit p -]- t = const. = p + T = P' + T', (c') r« (^ — jp) = const. = R* (T — P) = R'« (T' — P'),
et
Les deux courbes, diagrammes des valeurs de t et de ^ , ont encore pour asymptote commune Taxe ûesy(ûg. 60); de plus la droite
est aussi une asymptote commune ; les deux courbes sont symétriquement placées par rapport à cette droite. On voit
donc : P que, contrairement au cas précédent , la comjwpe»sion transversale des fibres circulaires ya en diminuant de l'extérieur vers rintérieur; 29 que , de même que dans le cas précédent, la compression longitudinale va en augmentant de rextérieur vers l'intérieur.
117. Eoveleppe sphériqne, grande pression à Fintérieur. Même problème I.
La propriété rappelée n^ 1 14 pour une demi-circonférence de cercle convient à une demi-sphère. Il en résulte que la composante des pressions qui s'exercent à l'intérieur de la demi-sphère est égale à PttR». De même pour la sphère de rayon r, la composante est p rrr*. La différence tt (PR» — pr*) est égale à la résultante des tensions normales à l'anneau obtenu en coupant la sphère par un plan diamétral. Or, cette tension est tdr par mètre courant de la flbre qui a une longueur totale 2nr; donc la tension totale pour cette flbre est 27rr^rfr; et l'on a
7r(PR* — pr«) = J 2nrtdr ,
d'où — d (pr*) = 2rtdr.
Quant à la seconde relation , elle est la même que dans le premier cas , celui du cylindre avec grande pression à l'intérieur. On a donc à traiter les deux équations
d(pr*) + 2rtdr = 0, (A)
d(tr) +pdr = 0, (B)
D'où r*dp + 2prdr + 2 trdr = ,
r'^dt +trdr + prdr = 0,
r(dp + dt) + 3(p + t)dr^0,
^dr d{p + t)
r»(p-hO = const. = R»(P4-T)-R'MP'-+-T'), (0)
2dt—'dp-=-0,
2t-p = const. = 2T — P = 2T' — P. (D)
D'Où ^==^-IziZ + |.' T±JP, (58)
La figure 61 doune les deux diagrammes des valeurs de t
et de p. Ce sont encore des courbes hyperboliques ayant
pour asymptote commune Taxe des y ; chacune a , en outre ,
une asymptote parallèle à Taxe des a? , à la hauteur — - —
pour la première et à la même hauteur , mais en dessous de l'axe des œ pour la seconde. On voit que c'est encore la fibre intérieure de rayon R , qui est la plus fatiguée par extension.
fis. Enveloppe sphériqae , grande pression à l'extérieur. Même problème I.
La remarque qui nous a servi à établir les équations fondamentales (a') et (&') s'applique au cas présent et nous permet d'écrire sans les expliquer les équations suivantes :
d(pr*) —2trdr=0, (A')
d{tr) — pdr =0, (B')
r» (t—p)== const. = R» (T— P) = R'» (T'- F), (C)
2t+p = const. =2T+P=2T' + F, (D')
Les deux diagrammes des valeurs de / et de p(ûg, 62 ) .
oat encore pour asymptotes communesTaxe des y et la droite
2T' 4- F parallèle à l'axe des a? et à la hauteur La plus
grande tension , ici une compression , a encore lieu à la fibre intérieure de rayon R.
1 iO. Problème II. — Étant donnés les rayons R et R', et les pressions P etP', trouver la tension (K = T), de la fibre la plus fatiguée.
Oq trouve, en appelant z le rapport — des rayons :
!<"• cas,
f t«. Applleatlons. — l. On a donné à un corps de presse de 0°^,dO d& diamètre intérieur une épaisseur de 0"™, 15 pour supporter une pression de G^Qi^ par cent, carré. Quelle est la tension de la fibre la plus fatiguée f P' = l^par c. q.
On trouve K = 997 k. par cent, carré.
II. Le rayon intérieur d'un cuvelage en briques est de 4 mètres ; pour lui faire supporter une pression de 120 000*' par mètre carré, on lui a donné un rayon extérieur de 7™,33. P = 10 000 A. par m. carré. On demande la tension maxima»
On a ^ = -- et K' == 323 200 k. par m. carré.
III. Une sphère de 0"",10 de diamètre intérieur et 0™,159 de diamètre extérieur supporte une pression de 300 k. par cent, carré à C intérieur et nulle à V extérieur. On demande encore la tension maxima.
On a ^' = 4 et K^ *^- 300 kil. par cent, carré.
IV. Un serrement aphérique en chêne supporte extérieurement une jpression de 24o 000 kil. par m. carré et intérieurtment , 10 000 ; le rayon intérieur est de 7"" ; le rayon extérieur 10™; on demande K',.
On a <sr = 1,43 , 5' = 2,924 et K', ^ 531 688 kil. par m. carré.
1^1. Problème ■■!. — Étant donné Vun des rayons, calculer Vautre de manière que la tension de la fibre la plus fatiguée ne dépasse pas une grandeur K donnée.
Entre les équations {c)ei{d) on élimine T' ; ou y remi)lace T par K et on trouve i;our le rayon inconnu.
i«cas, R'=R\/ -K-~^, -
2, „ R=RyE^
R' = Ry/-
4 ' ±t itl/ 2(K',-P) ^'
On voit qu'aucune épaisseur ne suffirait si.
dans le \" cas . on avait P > K + 2 P' , (5)
dans le 3» - •• .- P>2K, +3P'; (6)
et que le rayon intérieur serait nul et la pièce pleine si,
K' -4- P dans le 2« cas, on avait P =« — ^ — » (7)
dans le 4* - . . p=.tfLL
1 tt. Applleatl«iis. — \, Le rayon dune presse hydraulique est 0", 15 ; la pression extérieure est nulle; intérieure 400 kil. par cent, carré, on demande de calculer le diamètre extérieur, de manière que la tension maxima ne dépasse pas 600 hil. par cent, carré,
La formule (1) donne R' ^ R X 2,23 ; donc d' - 0™,67.
II. Le rayon intérieur d'un cuvelage est de 4^; la pression extérieure de 60 000^ par m. q. ; intérieure, de 10 000 ; tension maxima, 350 000 ; on demande le rayon extérieur R'.
La formule (2) donne R' = R X 1,19 =« 4,76.
III. Le diamètre intérieur dune sphère est de 0™,10 ; la pression intérieure 400 kU, par cent, carré; extérieure, nulle; tension maxima 600 kil, par cent, carré. On demande 2R'
La formule (3) donne 2R' = 2R X 1,355 = 0^,1355.
IV. Le rayon intérieur dun serrement 'Sphérique est 7 mètres; pression extérieure, 240 000 kil, par m. q.; pression intérieure, 10 000 k. par m. q,; tension maxima, 450 000 k, par m, q. On demande R'.
La formule (4) donne R' = R X 1,674 = ll'n,72.
I!i3. Prebléme IV. — Connaissant les rayons primitifs R et R' ainsi que la tension maxima et le coefficient d'élasticité E, chercher raugmentation ou la diminution du rayon intérieur de la pièce.
On a R, = R(ldr^)- (64)
lt4. Applleadons. — Les applications ci-dessus,
