III. On donne E = 1 000 000 kil. par cent, carré. On trouve
V . On donne E = 1 100 000 000 kil, par m. q. On trouve R, = 0,9996 R =: 6'n,9972.
lli5. Remarque. — Lorsque la pression donnée est fort petite en comparaison de la tension maxima admise , Tépaisseur à laquelle on arrive est aussi fort petite comparativement au diamètre de la pièce. Alors on ne commet pas d'erreur préjudiciable en supposant que la tension / n'est pas variable , qu'elle est la même sur toute l'épaisseur, et la formule à employer devient beaucoup plus simple.
En effet l'équation qui donne R' en fonction de R dans le cas du cylindre, devient
PR-FR'=T(R'-R), d'où R'-R = R ou P'R'— PR = T(R'-R), d'où R' — R = R
Telle est la formule dont il est généralement fait usage ,dans le calcul des épaisseurs à donner à des tuyaux de fonte ou de fer soumis à de faibles pressions comme les tubes et les corps des chaudières, les cylindres et les tuyaux à vapeur, etc. Dans ces cas, du reste, on ajoute généralement une constante au résultat du calcul , pour dçs raisons que nous n'avons pas à énumérer ici.
l!iO. Prebléme. — Calculer V épaisseur à donner à une plaque homogène primitivement plane, circulaire et reposant sur un appui circulaire tel qu'un cylindre creux (fig. 63), supportant une pression répartie uniformément à raison de "^ par mètre carré, de manière que la tension ne dépasse en aucun point t kil, par mètre carré.
Considérons des sections circulaires concentriques de rayon variable œ, La pression sur l'un de ces cercles sera p-KX'^, Tel est aussi Teffort tranchant à la circonférence de rayon x. Le diagramme de l'effort tranchant sera donc un arc de parabole KEN. Si , dans le but d'évaluer le moment de flexion , on veut appliquer à ce cas la propriété du diagramme de l'effort tranchant , il faut commencer par chercher la position d'une droite telle que ABC qui coupe l'aire du diagramme de l'effort tranchant en deux parties équiva- 1 entes, de telle sorte que le moment des forces extérieures
ff
mm
pour la pièce entière soit nul (n<>38). En d'autres termes, la droite AC doit être située de telle façon que Ton ait
aire AKQ = aire QBE, (65)
ou
d'où
Or
donc
-ixY-^a?y-2/'(X-a?') = -|â?y,
Y =p7rr»,
p-nr^ = BE = AD.
D'après cela, le moment de flexion à la section circulaire de rayon œ et d'épaisseur e sera
M = aire AKIH= -prrr'.r — -p7râ?'.a? — -i>7rr'(r — a?),
M = — pTTO? (r* — x^).
D'autre part , le moment d'inertie 27rire»
et , par suite , M
Dooc
Ee» \ 2 12"^ /
La constante C est déterminée par la condition qu'à x=^r
-r* et
correspond y = ; d'où C = r* et
La flèche Y = ||.e(^)*. (66)
La quantité — est maxima au centre ou pour or = et
vaut en ce point -~r- • On a donc, pour calculer e, d'après la formule (25),
Ef! = H. d'Où e^rJI. (67)
Avec cette épaisseur, la grandeur de la flèche devient
6 E Vp*
1 1». Applleatlon. — On donne 2r = 0™,60; p = 8 kil. par cent, carré ; t = 400 kiL par cent, carré ; E = 1 000 000 hil. par c. q.
On trouve e = 0™,043 , Y = 0™,0007.
tiBS. Problème. — Le même que le précédent si ce n'est que la plaque est encastrée à sa circonférence extérieure.
En appelant m une quantité proportionnelle au moment d'encastrement , on a
dy 2p /a?»
eio? Ee» \3 /
la condition --^ = o pour x ^ r donne m = — r- ^* et
la constante — étant donnée par la condition y = pour x=^r.
Laflèche Y = i.f.©*
La sactioQ dangereuse est à l'encastrement où l'on a
d'où e = ;.y||, (68)
1 1*. Awllcatlon. — Les mêmes données qu'au n» 127. On trouve e = 0"a,018 et Y = 0«,0003.
