SUR LE GALGUL DES PIÈGES PRESSEES PAR LEURS ABOUTS
1 30. ProBlème I. — Étant donné V effort N gui s'exerce sur Vabout d'une pièce dans la direction de sa fibre moyenne et dans le sens cTune compression , trouver la tension par mètre carré en un point donné d'une section quelconque,
Fig.ù^ Voir flg. 64. La pièce est à la fois soumise à la
^ compression N et au moment de flexion Ny, et la
A t flexion se produit suivant un des axes principaux
/ 1 d'inertie. Donc , d'après l'équation (45), (n° 105) ,
/ . f i^ la tension d'une flbre quelconque de la section CD
\ est exprimée par
On voit donc que la distance de la flbre neutre à la flbre moyenne est donnée par l'équation
^^ dans laquelle y doit être remplacé par sa valeur en fonction de x. De même l'expression de la tension t n'est complète qu'aî)rès que y est remplacé par sa valeur en fonction de X, Ainsi, parceque le bras de levier de la force N qui produit le moment fléchissant est, non plus une fonction de l'abscisse x, mais bien de l'ordonnée de l'élastique, il est nécessaire, pour obtenir les tensions, de rechercher tout d'abord l'équation de la flbre après déformation.
181. Prebleme II. — Chercher V équation de la courbe affectée par la fibre moyenne d'un solide pressé par ses abouts. Nous nous bornerons à l'examen des cas particuliers suivants :
I. Les points A e^ B sont assujettis à rester sur l'axe desx.
équation linéaire du second ordre dont l'intégrale générale est y == A cos Ao? + B sin kœ.
On en déduit
du
-T^ = — A ( A sin A 0? — B cos A a? ) ,
dx ^ ^'
•^-~- = — A* {AcosÂa? + B8inAa7) = — A*î/.
Donc A' = ^ et *=Vll-
y = pour 0? = donne A = 0.
2/ = pour œ = l donne B sin A/ = ;
or , comme B ne peut être nul sans que Ton ait 2/ = , on voit que Téquation de la courbe est
y = Bsmhœ, (71)
dans laquelle k satisfait à l'équation
= sinA/. (72)
Si n représente un nombre entier , cette équation donne
V\/^ = n7r, d'où N = n«7r«^.
N Kl
Faisant P = -^^ » on en déduit p = n* tt» -tt^ •
On en conclut que P a une infinité de valeurs dont la plus petite est
Si P reste en desseous de cette limite , la flexion n'a pas lieu ety=0 parce que B = 0. Si P est exactement égal à sa limite Pj , l'équation de l'élastique est
TTO?
2/ = B sin
Où B reste indéterminée; c'est-à-dire que le solide est dans un état d'équilibre indiffèrent sous la forme sinusoïdale quelconque prise par sa fibre moyenne.
Remarquons que I est le plus petit des deux moments d'inertie principaux.
On voit 1® qu'à l'état d'équilibre , la tige est simplement comprimée sans flexion tant que la charge P reste inférieure à la limite Pj (73) , celle-ci fût-elle la charge de rupture.
2^ Si la charge est supérieure à P, , la pièce en équilibre
sera à la fois comprimée et fléchie ; l'équation de sa fibre
PS?/ moyenne sera y = B sin Ao?; la tension ^ = P ± — y-^ u ;
la distance v de la fibre neutre à la fibre moyenne le coeflîcient angulaire de la touchante
tg 9 = :r- = B/f cos kx.
' ax
Ce coefllcient devient nul |)our a?, == rj- . et, pour la plus petite valeur de A, c'est-à-dire ki = j ,
on a ^i = j'
Fiç,â5, "^ 3° Des formules précédentes on peut déduire la
A^ -yji4plus grande longueur que la pièce puisse avoir
pour ne pas fléchir sous une charge donnée. Cette
recherche fera l'objet du troisième problème de ce
] / chapitre.
