DÉFORMATIONS DES PIÈGES PRIMITIVEMENT COURBES

Fîgf.76.

i40. Problème I. -

On demande de chercher la courbure affectée par la fibre moyenne d'une ^z pièce homogène y primitivement courbe^ soumise à des efforts donnée. (Fig. 76.) Nous examinerons deux cas : 1<> la courbe donnée -^j de la fibre moyenne est : plane et reste plane après

1 déformation ; 2<* la fibre

E___J^^\ ^moyenne a une double courbure.

!•' cas, fibre moyenne plane. — Soient A B et CD deux sections normales indéfiniment voisines entre lesquelles la fibre moyenne 00' est courbe, ayant pour centre de courbure le point E, pour rayon de courbure po = EU, pour longueur primitive OÔ' == L = dœ. Le moment M des forces extérieures amène la section CD dans la position CD' par ra|)port à AB restée fixe et alors la pièce a fléchi, le centre de courbure est venu en E' et le rayon de courbure est Ë^=p.MenonsC4Dj parallèleàABet soient yo=0'EO=CjOC, ^ = COC. L'allongement proportionnel de la fibre ss^ située à un mètre de distance de la fibre moyenne dans là section CD sera

Or on a —^ — =» — et -7-^ = — •

L p L po

Donc ^r- =

L p po

W M D'autre part, en vertu de Téquation (18), on a -r- = — -

L Kl

Donc = =^ . (94

p Po El ^ ^

Cette équation résoud le problème posé puisque M , I et po sont des quantités données , fonctions de a?.

!^« eas. — Fibre moyenne à double courbure, — Les forces extérieures données sont appliquées en des points quelconques. La fig. 76 est supposée dans le plan osculateur de la courbe donnée , c'est-à-dire le plan qui renferme les centres de trois sections indéfiniment rapprochées, 0, 0', G". Les deux sections, normales AB et CD se coupent suivant une droite perpendiculaire à ce plan et projetée en E ; centre de courbure de la courbe primitive. Le plan osculateur ou pian de la figure coupe la section normale CD suivant une droit OWo prolongement de EO; supposons tracée dans le plan de cette section , une droite O^o perpendiculaire à OWo :

ces deux droites O^^o » O^o » avec la direction 0' de la touchante à la fibre moyenne à Tétat primitif, forment un système orthogonal d'axes des coordonnées.

Nous supposons que la section normale après déformation est restée plane, que la fibre moyenne 00' a conservé sa longueur primitive L=rfa?, que la flexion n'est pas accompagnée de torsion , enfin que la distance u^ de la fibre la plus écartée de Taxe neutre a une longueur négligeable en présence de celle du rayon de courbure primitif po-

Cela étant, après déformation, le nouveau plan osculateur coupe la section dans sa nouvelle position suivant une droite Ou faisant l'angle |3 avec OMo ; Oz , perpendiculaire à Ou fera aussi l'angle (3 avec OZq , et p sera le nouveau rayon de courbure. Considérons une fibre qui était à la distance u^ de Taxe 0^0 avant déformation et qui est ensuite à la distance u de l'axe Oz après déformation. Entre Uq et u existent les relations

w = WoCOs/3-f 3:oSin(3, z = -2:oCos|3 — WoSin|3.

La longueur primitive de la fibre considérée est L /l -h -^)'