La somme algébrique des forces doit être nulle
2. La somme algébrique des moments des forces par rapport à un premier plan parallèle auœ forces doit être nulle,
3. La somme algébrique des moments des forces par rapport à un second plan parallèle aux forces et perpendiculaire au premier plan , doit également être nulle.
Si Ton choisit le système d'axes coordonnés orthogonaux de manière que Taxe des z soit parallèle aux forces , ces conditions s'énoncent algébriquement comme suit :
2Pa?=0, (1)
1 1 . Si aucune de ces trois conditions n'est remplie , ou même si la première seule ne l'est pas, il y a une résultante unique R, parallèle gmx forces données,
1. Son intensité est égale à la somme algébrique de celles des forces données.
2. Son point d'application, appelé centre des forces parallèles pour des raisons analogues à celles énoncées n^ 5 , a pour coordonnées
iFx
IP
y.=-YF, (2)
D'où l'on déduit (juc , pour tout plan passant par le centre des forces parallèles , la tomme algébrique des moments de ces forces est nulle.
lié. Si la première des conditions (1) est seule remplie, il y a wn couple résultant unique agissant dans un plan paral-
lôle aux forces et faisant avec les plans des Y Z et des Z X des angles a et |3 ; son moment M et les angles a et |3 sont donnés par
COSa =
cos|3 =
û», Eiemple. Sur une table à 3 pieds, OBC, ûg. 2, repose un poids de 1000 kil. dans la position indiquée. Ce poids est tenu en équilibre par les réactions des pieds R^ , R« et R, dont on demande la valeur.
Solution :
fl 4. SI les forées agissent dans un même plan mais ne sont pas parallèles, les conditions d'équilibre sont :
1. La somme algébrique des projections des forces sur une première direction arbitrairement choisie dans le plan des forces, doit être nulle,
2. La somme algébrique des projections des forces sur une seconde direction prise dans le plan et perpendiculaire à la première , doit égaleynent être nulle.
3. La somme des mo^nents des forces par rapport à un point quelconque du plan doit être nulle,
2Pcosa = 0,
2Psina = 0, (1)
2P(a?sina — î^cosa) = 0.
15. Si aucune de ces trois conditions n'est remplie, ou si Tune seulement des deux premières ne l'est pas , il y a une résultante unique R dont Vintensité est
R = l/(2Pcosa)« + (2Psina)\ ,
et dont la droite représentative est située à une distance r de Torigine , donnée par
2P(^'sing — y cosa)
Cette droite est inclinée sur Taxe des x d'un angle a dont le cosinus est donné par
1 Pcosa
cosa '
La valeur ci-dessus de r exprime que le moment de la résultante par rapport à un point quelconque du plan est égal à la somme algébrique des moments des composantes par rapport au même point.
iO. Si les deux premières conditions (1) sont remplies sans que la troisième le soit , il y a wn couple résultant unique, dont le moment M est égal à la valeur du premier membre de la troisième équation (1), et qui agit dans le plan des forces.
19. Exemple. Données : les forces 1000^ et 20001' de la fig. 3. De plus cosa^ = 0,866 et sin «^ = 0,5.
Solution :
SPcosa = 2866k.
2 Psina = 500^.
2 F (a? sin a — y cos a ) = ISOTiin».
Cosa = 0m,985.
18. Cas général de forées qaeleonques. — Les conditions d'équilibre sont exprimées par les six équations suivantes :
X=2Pcosa=0, \
Y = 2Pcos/3=0, ! (1)
Z = 2Pcos;y«0, ;
L = 2P (^cos/3— 2/tcosy)-= 0, \
M = 2P(â?cosy---3:cosa)==0, | (2)
N =2P(2/ cos a— â?cos(3) = 0. )
lO. Si les trois premières conditions sont seules remplies, il y a wn couple résultant unique W, dont les couples composants dans les plans coordonnés ont pour moments respectifs L, M, N, valeurs des pï^miers membres des équations (2).
î^O. Si les trois conditions (2) sont seules remplies , il y a une résultante unique R , dont les i)rojections sur les axes coordonnés ont pour grandeurs X, Y, Z, valeurs des premiers membres des équations (1).
^f. S'il n'est satisfait complètement à aucun des deux systèmes de conditions ( 1) et (2), en général il y aura une résultante R dont la droite représentative passe par Torigine, et un couple résultant W. Ce système peut encore être réduit à deux résultantes non concourantes et non Vàrallèles par la composition d'une des forces du couple avec la résultante qui passait à l'origine. Il y a une infinité de systèmes de deux forces non concourantes équivalents à un système d'un nombre quelconque de forces. Il y a aussi une infinité de systèmes , composés chacun d'une force et d'un couple, et qui équivalent tous à un système donné de forces; mais pour tous ces systèmes , la grandeur , la direction et le sens de la résultante R restent invariables ; la position
de sa droite représentative et les éléments déterminants du couple sont seuls variables.
Dans le cas particulier où les valeurs X , Y, Z , L, M , N , des premiers membres des équations (1) et (2), seraient liées par la relation
LX +MY+NZ = 0,
la résultante R et le couple W agiraient dans un même plan , et leur système serait réductible à une seule force R dont
la droite représentative est située à une distance ;5- de
Torigine et dans le plan commun.
tt. Exemple. — Qn demande de composer le système des forces appliquées au corps rigide A B C , fig. 4 , en prenant le point A pour point d'application de la résultante.
Solution. Les trois forces données ayant leurs directions orthogonales , le choix des axes n'est pas douteux. Les composantes de la résultante R
seront : suivant Taxe des x + SOO'',
Donc R == V/sOO» + 3000* + 2000* = 3693".
Les angles a, b, c que la direction de la résultante fait avec les axes des â? , des y et des z respectivement sont donnés par
cos h'-
'• 10 ~ Dans la figure 5 est consigné ce résultat.
-icoo
Les moments des couples composants sont :
Plan des ^ y , axe des x 1500''™ ,
» « zx, " « y —2000 ,
Donc
W = V/15Ô0* + 2000* + 3750» = 4507kn>.
Les angles A , B , C que l'axe représentatif du couple résultant W fait avec les axes des coordonnées sont donnés par
cos A =
cos B = ■
cos C ^ •
Dans la figure 6 est consigné ce résultat.
Centres de gravité et d'élasticité.
^B. On appelle centre de gravité d'un corps le centre d'un système de forces parallèles proportionnelles aux poids ou aux masses des portions infinitésimales de ce corps.
Par extension , on appelle centre de gravité d'une ligne, d'une surface, d'un volume , le centre d'un système de forces parallèles proportionnelles aux grandeurs des éléments infinitésimaux de ces lignes, surfaces ou volumes.
Le premier coïncide avec le second dans les corps homogènes sous le rapport de leur masse.
Par une nouvelle extension , on appelle encore centre de gravité d'une surface ou d'un volume, le centre d'un système de forces parallèles et proportionnelles non-seulement aux éléments de cette surface ou de ce volume,, mais encore à une autre quantité E variable avec la position de l'élément dans la figure géométrique à laquelle il appartient. Si E représente ['élasticité variable des divers éléments d'une surface plane, le centre des forces parallèles définies comme nous venons de le dire , prend plus particulièrement le nom de centre d'élasticité de cette surface plane.
^^. Les coordonnées du centre d'élasticité d'une surface plane , composée d'éléments superficiels s , ont donc pour valeurs :
lEsx
^* = -iÊr'
zEsy
Lorsque le centre d'élasticité est pris pour origine, â?i et î/i sont nuls, et par suite aussi lEsx et lEsj/ ; d'où suit que la somme des moments des forces élastiques par rapport à une droite passant par le centre d'élasticité , est nulle.
Le centre de gravité coïncide avec le centre d'élasticité pour les surfaces homogènes sous le rapport de l'élasticité .
î^5. La méthode pour rechercher le centre d'élasticité d'une surface consiste à décomposer cette surface en parties dont on connaît la position du centre d'élasticité , et à écrire les expressions ( l ).
t#. Exemple. I. Le centre de gravité de la fig. 7 est en G , à une distance 4 de AB.
IL Le centre de gravité de la fig. 8 , est en G à une distance 6,724 de AB. • III. Chercher le centre d'élasticité d'un carré dans lequel l'élasticité, égale à Eo à la base inférieure , va en croissant uniformément jusque £« , à la base supérieure , en restant la même sur toute la longueur d'une parallèle aux bases.
-f- Fig.7.
tt
Solution
E — E, E, — Eo
d'où élasticité
Bj ^"^ ÈiA
E = Eo -f , ^ ;
ité totale / ^Ixdx = °T ' l' ;
EUdx = ^^±^P;
d'où
1 E. + 2E. , * 3 Eo + E,
Des moments d'inertie.
î^l. On appelle moment dCinertie d'un corps par rapport à une droite, la somme des produits des masses élémentaires de ce corps par le carré de leurs distances respectives à cette droite.
Chaque masse élémentaire est représentée par le produit de s(m volume (en mètres cubes ) et de sa densité ( ou masse du mètre cube). Si à est la densité d'un élément v^^ de volume situé à une distance âJ^ de Taxe , le moment d'inertie I de la masse entière M = 2^t?, sera
^H. Par unef extension analogue à celle que nous signalions pour le centre de gravité, on admet des moments d'inertie de lignes, de surfaces, de volumes. Et, par une nouvelle extension, les mêmes dénominations s'appliquent encore au cas où Ton remplace la densité 5 par une autre quantité quelconque , telle que l'élasticité E , variable avec la position que l'élément considéré occupe dans la figure.
Il importe de rappeler les deux propriétés suivantes des moments d'inertie.
îtO. Le moment d'inertie V d'un corps par rapport à un axe situé à une distance D de son centre de masse , est égal du moment d'inertie I du même corps par rapport à un second axe parallèle au premier mais passant par le centre de masse , augmenté du produit de la masse du corps par le carré de la distance des axes.
Cette propriété , vraie encore lorsque le mot élasticité y remplace le mot masse, permet de déterminer facilement le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe quelconque dès que l'on connaît tous ceux qui se rapportent à des axes passant par le centre de masse (ou d'élasticité), et la propriété suivante ramène la connaissance de ces derniers à
celle de trois moments d'inertie principaux par rapport à trois axes perpendiculaires entre eux.
Si Von connaît les moments d'inertie d'un corps par rapport à tous les axes qui passent par son centre de masse, et si, à partir de ce point , on porte sur chacun de ces axes une longueur inversement proportionnelle à la racine carrée du moquent d'inertie correspondant , le lieu des points extrêmes de ces longiteurs est un ellipsoïde dont le centre de figure coïncide avec le centre de masse.
Les moments d'inertie principaux se rapportent aux axes de rellipsoïde.
30. Pour toute surface plane il existe une ellipse centrale d'inertie ou d'élasticité. Nous allons le démontrer.
Soient, flg. 9 : G, le centre d'élasticité d'une figure plane A B, point que nous prenons pour origine des coordonnées; Gx, Çjy, un système d'axes rectangulaires; 5, un élément superficiel quelconque de la figure , ayant pour coordonnées x et y, et dont l'élasticité est représentée par E ; faisons 5E = S, et
1 = 2807*; J = 2S2/*; K^l^xy. (1)
Fig.9.
I et J seront respectivement les moments d'inertie de la surface par rapport aux axes des y et des o? ; et K sera appelé produit d'inertie.
Recherchons les moments et produit d'inertie F, J', K' par rapport a un second système d'axes orthogonaux Go?' et
Gp\ faisant un angle (3 quelconque avec le premier. Nous aurons :
Entre x,y,x' et y^ existent les relations connues x^ = X cos^ — y sin jS, 2/' = â? sin P + y cos /3 ,
qui conduisent facilement aux équations suivantes : I4-J = r + J' -const.^C, IJ — K« = l'J' — K'« = const. = C
G /C* D'où ï' == 9 + V 4 — ^' ""^'*' maximum pour K' = ,
C /c* J' = - — Y — — C — K'* , minimum pour K' = 0.
Donc dans toute figure 'glane, il existe une paire d'axes orthogonaux passant par le centre d^ élasticité, pour lesquels les moments d'inertie de cette surface sont l'un maximum , l'autre minimum ; ils sont appelés axes prlnelpaux d^lnertle.
L'angle (3' que fait ce second système d'axer avec le premier est donné par Téquation
sin 2 8' K'=5iî^(I~J)+Kcos2/3' =
d'où
tg2P'=
Cela posé, prenons, âg. 10, les axes principaux d'inertie
-Iode la surface donnée pour axes des coordonnées , et évaluons le moment d'inertie M par rapport â un autre axe quelconque faisant Tangle a avec Taxe des œ. Soient :
I = 2S^*;J = 2S2/«;K = 2Sa?2/ = 0:M=^2Sw«.
On a w = 2/ cos a — 07 sin a ,
d'où M = 2 S M* == I sin' a + J cos* a — 2 K sin acos a , ou M = I sin« a + J cos« «. (5).
Faisons a = —7-- ; ô = — ^; p = — =^ ; (6)
et sur les axes des a?, des 2/ et des ^ , portons , à partir de l'origine , des longueurs respectivement égales à a , 6, p ; et cherchons le lieu des extrémités des rayons p. Si nous représentons par œ Qi y les coordonnées courantes de ce lieu , nous aurons :
a7 = pcos a,
2^ = psina, (7)
^'+2/* = p* et l'élimination de a conduit à l'équation
qui est celle de l'ellipse d'inertie rapportée à son centre et à ses axes. C. q. f. d.
31. Propriété. — Le produit d'îner^tîe par rapport à deux diamètres conjugués dans V ellipse centrale d! inertie , est nul; et les diamètres conjugués jouissent seuls de cette propriété. La démonstration de ce théorème est fort simple.
st. Exemple. — Tracer Tellipse centrale d'inertie d'un parallélogramme (fig. 1 1 ) dont la hauteur est 2n , la base 2m , Tangle aigu de deux côtés , a. Un premier système d'axes coordonnés étant Ox et Oy , on a
I = Isx* :=:--- mn (m*4- w*cotg*a) , o
J = 2sy* = —•mn^ ,
K =r 2 sxj/ =—. mn* cotg c o
On en déduit
X « ,. 2n*cotga
tg 2/S' = 2 .
n* — m* — n* cotg* a
4mn
Ensuite F + Jf == I + J == -H^ (m« + n*cosec*a ) ,
rj'==ij — K*==
2mn
d'où I'= —^jm* + n'cosec'a-f- {/{m* -{■ n* cosec* «)• — 4m"n*j ,
2wîn
J' =— r— j wi* + *** cosec*a — ]/ (m* + n* cosec* a)* — 4 m* n* j .
La question est ainsi complètement résolue.
Dans le cas où il s'agirait d'un rectangle (fig. 12 ) , on trouverait /3' == 0,
c'est-à-dire que les axes de figure sont axes principaux d'inertie ; et les
. 4m'n 4mn' ,
moments d inertie principaux sont respectivement — - — et — ~ — , de
manière que le rapport des axes de l'ellipse d inertie est le même que celui
des deux dimensions du rectangle.
AppllettlIOB. — On donne (flg. 12), b^2h, et /3 » 151o55' ; on diemande l'angle pf de la direction WW conjuguée au diamètre VV, ainsi que le moment d'inertie V par rapport à la droite W.
Fiff/2.
Fiç.13^
Figiâ
tg/3tg/9' = - -,
On a tg/3 = — 0,5336;
d'où tg ,9' = 0,4685 et ^' = 25o6'.
V^h bh*
r = sin« P' + ^ cos« pt = 0,01604 b .
Dans le cas d'un losange (flg, 13 ) , on a n =s m sin a et tg 2 yâ' = tg a ,
d'où l'on conclut que )3' = —. et que les axes de l'ellipse coïncident avec
les diagonales ; de plus ils leur sont proportionnels.
D et d étant ces diagonales, les moments d'inertie principaux sont respectivement
D»d 48 * Dd« ' 48 '
Pour tout polygone régulier l'ellipse centrale devient un cercle. Voir note I à la fin du volume.
Du centre de percussion et du noyau central.
33. On appelle centre de percussion d'une figure plane CD (fig. U)par rapport à un aœe HT de son plan , le centre d'un système de forces parallèles et proportionnelles chacune au produit E 5 et à la distance du point d'application à Taxe T T.
En appelant u la distance de Télément s à Taxe TT, et 2^, celle du centre de percussion au même axe , nous aurons
La distance d du centre de gravité au même axe est donnée par d 2Es = l^su ;
ou Srf= 2^su,
et(n^29) |/Se? = 2Esi^* = I« + Srf*. (2)
la
Donc
Srf
De plus, le centre de percussion H se trouve sur le diamètre BB de Tellipse centrale conjugé à la direction A A de Taxe de percussion. Si « est l'angle de ces deux diamètres , on a visiblement
la
S rf sin a
34. Si l'on prend successivement pour axe de percussion toutes les touchantes au contour de la figure considérée, le
lieu des centres de percussion correspondants porte le nom de noyau central de la figure.
Sft. Eieniplefl. Le noyau central d*un rectangle (fig. 15) est un losange dont les diagonales ont un tiers de la longueur des axes du rectangle et coïncident avec eux.
Le noyau central d'un cercle est une circonférence d*un diamètre quatre fois plus petit.
