THEORIE DES RESSORTS

144. Ressorts a lames. — Nous les supposons composés d'une série de bandes d'acier légèrement courbes, d'égale largeur et de faible épaisseur. La section de chaque lame prise isolément est un rectangle ; la hauteur de ce rectangle ou l'épaisseur e de la lame peut varier d'une lame à l'autre. A l'état primitif, toutes les lames sont courbées en arc de cercle de même rayon assez grand. Les lames superposées (fig. 77) ne se touchent que par leurs milieux et leurs extré-

FiffJT

--h-^-mZSX-

i___:zzr^^

r^^i^^ss^î

mités où l'on a ménagé des ergots. Soient : P,,?,, Pj,. .. les efforts appliqués aux extrémités des lames ; P, , un effort extérieur donné et P,, P3 ,.... les pressions des lames supérieures sur les ergots des lames inférieures; ^,, /,,.... les longueurs des lames comptées seulement jusqu'au plan Y de leur ligature; ^4, ^j,.... leurs épaisseurs; ô, leur largeur commune; R, leur rayon de courbure primitif commun; p4, p8> ••• ^^^ï*s rayons de courbure après déformation, aux pointsMo m,,.... dont les coordonnées sont(a?,2/4),(a7,2/,),...; iT, l'abscisse d'une section CD quelconque faite dans le ressort.

Aux sections mj , m, , m» on a pour les moments des

forces extérieures :

P* ih-^) - Pi (^ - ^) = Pi ^4 - P«^i-(Pi - P.) ^,

P^l(^l— a;)--Pn(/n — a?) = Pn-l^«-l — Pn^n — (Pn-l-Pn)â7.

En vertu des équations (94) et (25) on a P,^,-P.^.-(P.-P.)«^ = E^(1-J-).

Pi^i-P,^. = P.^.-P.^. =

Pn- 1 /n— 1 — Pn In

~6 — be^f^ifn-

Les deux conditions pratiques à réaliser sont : \^ de faire travailler également toutes les lames , c'est-à-dire de faire égales toutes les tensions /*, afin que les chances de rupture soient les mêmes pour toutes les bandes; 2^ de faire en sorte que , si les lames n'avaient pas d'ergot , sous charge elles se toucheraient sur toute leur longueur comme à l'état primitif; c'est-à-dire que pour une même valeur de a?, tous les rayons p doivent être égaux. En vertu des précédentes équations, ces conditions conduisent aux résultats suivants :

^4 = ^8 = = Cn = e, (a)

Si Ton ajoute membre à membre les n équations (c) et ensuite les (h — 1) premières, on obtient successivement

et en ajoutant les â — l premières équations (&) .

Éliminant fei F» entre ces trois dernières équations ,

lK = ll'

Pi

(ff)

Dans cette expression de la longueur de la k^^* lama^ la valeur de -^ peut varier arbitrairement depuis zéro jusque

— seulement, puisqu*aucane lame ne peut être plus longue

que la première ^|. Si donc on représente par y un nombre entier ou fractionnaire plus grand que Tunitô et si Ton pose P 1

= » on aura

Pj yn

Ik = 1^-

145. Si on fait y « 1 , sa limite inférieure, toutes les lames sont d'égale longueur et le ressort est dit rectangulaire ; la. diïïérenGe des pressions sur deux lames consécutives est constante et égale à la n^*"*« partie de la pression P|. (Voirfig. 78.)

fïff.78.

— J53 - IlO. Si on fait 7 = oo , sa limite supérieure, od obtient

la différence entre les longueurs de deux lames consécutives est constante et égale à la n^*™* partie de la longueur de la première lame ; le ressort est trapézoïdal ( flg. 79). De i)lus , p ^0, c'est-à-dire que toutes les pressions P sont égales; tous les rayons de courbure sont indépendants de la valeur de X et par suite toutes les lames déformées sont courbées en arc de cercle et la tension est la même sur toute la longueur de chaque lame. C'est dans cette importante propriété de travailler également dans toutes leurs parties , que réside la supériorité de ce genre de ressorts.

147. Pour des valeurs de y comprises entre 1 et 00 , le lieu des extrémités des lames supposées primitivement droites est un arc d'hyperbole (flg. 80). C'est pourquoi Redtenbacher leur a donné le nom de ressorts hyperboliques.

iaSO

^Jf'y^vr.

148. Probiéioe. — Chercher la flèche de flexion de la première lame.

Rappelons les précédentes équations :

P.^.-P.^.-^.-P.)a. = Ef (^-i), be*f

P| li ^%l%

wr P,^ Eôe» /l l\

poser - = T^et alors on a

Si Ton suppose que la courbure soit et reste faible , on peut jt alors on a

A la rigueur cette équation n'est applicable qu'à la partie de la lame comprise entre â? = et a? = /j ; mais dans la pratique, la différence de longueur des deux premières lames est toujours petite, et Ton peut supposer, sans commettre d'erreur préjudiciable, que l'équation (102) est valable jusque 0? = /|. On a successivement

dœ \R Ee/ ^ W)e^ny '

__/l 2A^ 2P, 5 ^ ~ \R ^ E^/ 2 + Eôe'ny ^ '■ ^"*

2/o est l'ordonnée à l'origine de l'élastique. L'ordonnée y^ à l'extrémité est la valeur que prend y quand on fait œ = l^.

A l'état primitif P, = , /*= et 2/', = -^ + yo- On a

donc pour la flèche de flexion Y == y', — 2/4.

^~E^ Eôe'ny' ^ '^

ou , en éliminant P, à l'aide de Téquation [d)

l-iO. Problème. — Étant donnés : V effort P, , la longueur I4 de la première lame y là tension maayima f, le ' coefficient d'élasticité E, la largeur b des lames, la flèche Y ; calculer V épaisseur e des lames , leur nombre n e^ ^a longueur \\ d'une lame quelconquei

Les équations ( 104), (rf), et ( 101 ) donnent :

fbe^

fiff.8f.

IftO. Exemple. — On donne P, = 600»^; /^ = 0™,50; /'== 44»^ par mill. carré ; E = 30 GOO'' par miU. carré ; b = O^^jOS ; Y = 0^,05 ; le ressort est rectangulaire , 7 =^ oo .

On trouve e = 0n»,0073 ; n = 15 ; / == ^^ = 0^,50.

151, Ressort, a hélice cy-

lindriqoe. — Le ressort (fig. 81) est appuyé sur n plan BAC, et, à Textrémité supérieure D, le fil qui le forme est ramené vers le centre pour y recevoir la charge P. Le rayon du cyliudre, mesuré au centre du fil , étant primitivement r , le moment de Tefifort F par rapport à une section quelconque du fil , est égal à Pr, et conserve cette valeur ^ si on néglige la légère défoi'mation amenée par l'application de la force extérieure. L'etfét dé '^ celle-ci est une torsion des sections normales du fil , accompagnée d'une fiexion que nous supposons négligeable. Si nous appelons I© le moment d'inertie polaire de la section du fil : L, la distance de deux sections indéfiniment voisines; cp, comme ci-devant , l'angle de torsion indéfiniment petit ; nous aurons, d'après l'équation (37),

GIo

Si l est la longueur d'une spire et p le pas primitif, on a

^ = l/(2 7rr)«+p«.

Soit maintenant dy^r fia, quantité dont le point d'application de la force P s'est abaissé pendant que la torsion ^ s'opérait; et appelons ef a Tangle compris entre deux plans passant par Taxe du cylindre et par les extrémités de l'élément L = dlde l'hélice. Nous aurons

dl

^L^da^r^+{^y

et ay^n = -^L^-^\/r*+(-§^) da, et, pour une spire

Or, en vertu de l'équation (47) , nous avons

p étant la distance du centre à la fibre la plus éloignée. La combinaison des deux équations (a) et (&) donne

Le travail effectué par spire, que nous appelons T , est

et le travail par kil. de matière en jeu

Pour une section circulaire , -^^ = -^ '

>, M » rectangulaire, — ;

les conclusions sont donc les mêmes qu'au n<> 103, c'est-àdire que la section circulaire est préférable.

iftlt. Ressort à hëlleeeonlqiie, représenté en élévation et en plan fig. 82 et 83 Soient : i , la longueur totale du ressort , Y la flexion totale , n le nombre de spires , d la distance entre deux spires mesurée suivant un rayon, R = nrf le plus grand

-—Crayon ,

r = -T — d \m rayon quelconque

auquel correspond une flexion y ; nous aurons : , T. P / rf X» a*

Pour le ressort entier a = 2 7rn PR» nn ^ PRn GIo 2 "" 2GIo Y^ t R

PY ^ ^« X Iq

et

et, en vertu de l'équation (ô) ,

7= ''^'Ââiw)- (^««>

Par ce ressort on fait donc un moins bon emploi de la matière que par le précédent ; cela s'explique par le fait que la tension maxima n'arrive à la valeur t que dans une seule section, celle pour laquelle le moment a sa plus grande valeur PR. 11 convient donc de donner a^i ressort à hélice conique la forme d'égale résistance. (Voir n® 103.)

^ 153. Ressort plan à spirale. — . Soit fig. 83 un tel ressort fixé en A et recevant en par l'intermédiaire d'un levier KL l'action d'un couple dont le moment est PR. Nous supposons que la flexion à une section D quelconque s'opère autour d'un des axes principaux d'inertie , celui qui est perpendiculaire au plan de la figure et que nous avons nomme axe des Zq dans le chapitre précédent. Le moment de flexion au point D est égal à la somme des moments de toutes les forces extérieures

qui agissent depuis ce point D jusqu'à l'extrémité de la pièce. Or, parmi ces forces, se trouvent d'abord P, dont le moment est PR, et ensuite les forces nécessaires pour fixer le point et qui seraient égales aux réactions des pivots ; ces dernières nous les nommerons B et C , en conservant les mêmes notations qu'au chapitre précédent. De même par b et c nous représenterons les coordonnées du point D. La composante B aurait pour effet d'allonger le prisme élémentaire de longueur dl et ayant sa base en D ; nous négligerons cet effet et n'aurons égard qu'à la flexion seulement. Le moment de flexion est PR + Bc — Cô.

En vertu de la première des équations (96) dans laquelle nous faisons sin j3 = , cos j3 = 1 , et I = const. , nous aurons

PR-hBc-Cô — El(-— -), (a)

d'où FRfdl + Bfcdl — C fbdl = El fi^^-^'^dl.ib)

Étendons ces sommes à toute la longueur l du ressort et appelons b' ei & les coordonnées du centre de gravité du ressort entier, nous aurons

PRl'i-(Bc' — Cbni = Elf(-'- ^)dL (c)

Remarquons que — est l'angle que nous avons appelé W

dans la théorie générale de la flexion. Soit y ^ == a, , et le

second membre de l'équation (c) deviendra E I («, — «o) = E I a, expression dans laquelle a représente l'angle dont la spirale a tourné sous l'action du couple PR, en d'auties termes l'angle dont le levier KL a tourné pour fléchir la spirale. L'équation (c) devient donc

PR-+-Bc'-C&'=^-

Au cas particulier où le centre de gravité du ressort coïncide avec le point , les coordonnées ô' et d sont nulles et l'équation (109) devient

PR = 5^, d'où a = ^^- (109)

Ces conditions se présentent presque exactement quand le ressort est composé d'un grand nombre de spires.

En appelant f la tension de la fibre la plus fatiguée par flexion et v! la demi-épaisseur de la lame, on aura pour calculer la section du ressort , en vertu de Téquation (25),

ensuite «-^^i?' ^^^ "T == ¥ '

1 /^ Four une section circulaire, '^« "^ "« af '

1 P « y* rectangulaire, Tj^— -frr ;

le ressort rectsuigulaire est donc le plus économique.

154. Kessort à liéliee eylindriqiie tordu. — Au lieu d'appliquer un effort P suivant Taxe au ressort cylindrique fig. 81 , supposons qu'on le torde par le moyen d'un levier IH

p et des deux forces — donnant lieu au couple PR. L'une des

extrémités, A, devra être solidement fixée par une force dont nous supposerons nulle la composante parallèle à Taxe du cylindre. Nous supposons le pas de l'hélice assez petit en comparaison du rayon r du cylindre pour que l'on puisse considérer comme normale à l'hélice la section faite par un plan contenant l'axe du cylindre, que nous prenons pour axe des z^ ; la direction du bras du levier DI nous la prenons pour axe des ^, et une perpendiculaire pour axe des y. Les composantes de la force qui sert à fixer le point A seront C suivant l'axe des a? et B suivant l'axe des y. Le moment de flexion par rapport à une section M quelconque ayant pour coordonnées x,y,z, sera donc

PR + Cl/ — Bœ,

Supposant le moment d'inertie des sections I constant ,

Taxe neutre axe principal d'inertie, K = et sinj3 = 0, on a, d'après la première des équations (96 ) ,

PR + Cî^ - Ba? = El (- — -V (a)

Procédant comme dans le cas du ressort précédent, multipliant par dl tous les termes de Téquation (a), intégrant de à /, appelant c', (a?) et &', (y) les coordonnées du centre

//Il — = ao ; a, — «0 = a ; nous avons o Po

PR + Cô'-Bc'-^. (111)

Lorsque le centre de gravité du ressort est un point de Taxe du cylindre , ô' = , c' = 0, et Tangle a est proportionnel au moment PR , qualité importante dans la pratique et surtout dans celle de rhorlogerie. Mais le centre de gravité du ressort ne peut rester sur Taxe que si Ton ramène par un mécanisme convenable le point A et le point d'attache du levier, constamment sur la surface cylindrique dont le rayon diminue par la torsion et augmente par le déroulement. Un grand nombre de spires et une légère torsion établissent à peu près cette situation sans le recours d'un mécanisme spécial. Dans ce cas on peut admettre la formule

PR = ^a; d'où « = ^^- (112)

et les résultats sont identiques à ceux du n^ précédent.

155. Comparons le ressort à hélice cylindrique comprimé (n<* 151 ) et agissant par torsion au même ressort tordu et agissant par flexion (n<* 154). Remarquons d'abord que l'on a , pour les métaux dont on fait les ressorts, approxima-

tivement, ^ = -5- A G-jE; -q* e""^'^'

Le ressort comprimé emmagasine au kil. un travail plus grand que le ressort tordu dans le rapport de 3,2 : 1 pour une section circulaire et de 1,6: 1 pour une section rectangulaire.

150. Remarques sur la eonstraetlon des ressorts en liéliee. — I. D'après Redtenbacher , on peut admettre les coeflScients d'élasticité suivants^ exprimés enkil. par millim. carré.

Fil de fer 18000 7200

Acier fondu 20000 9600

Acier de qualité moyenne . . 30000 12000 Acier de qualité ordinaire. . 20000 8000

La trempe a pour effet d'élever considérablement la tension maxima à laquelle on peut faire travailler l'acier, mais elle ne modifie pas sensiblement les coeflîcients d'élasticité. Ainsi des ressorts en bon acier bien trempé peuvent fonctionner fort bien sous une tension qui , pour la fibre la plus fatiguée, s'élève jusqu'à 110 kil. par millimètre carré.

Nous avons, dans ce qui précède, négligé la légère flexion qui accompagne la torsion et la légère variation du diamètre du cylindre. Dans ces conditions les formules ci-dessus ne sont pas toujours applicables si du moins on prétend conserver les mêmes coeflîcients d'élasticité. Nos expériences nous ont amené à la conclusion que, pour les cas ordinaires, ces formules donneraient des résultats acceptables en pratique , si l'on a soin de faire varier le coefficient d'élasticité G depuis 8000 pour les sections rondes ou carrées jusque 2000 pour les sections très plates , par exemple dont l'épaisseur n'est que le dixième de la largeur.

IL Pour tirer d'un ressort tout le parti possible , il faut le faire travailler de manière que , lorsqu'il a atteint sa plus grande déformation admissible (extension ou compression), la t( nsion de la fibre la plus fatiguée soit arrivée à son maximum. Cette condition économique donne une troisième relation à laquelle il convient d'avoir égard dans la construction des ressorts.

En effet , si c'est dans le sens du raccourcissement de l'hélice que l'effort P agit, les spires doivent se toucher lorsque la tension maxima t est atteinte. Si donc la section du fil est circulaire, son rayon étant p, il faut que le pas qui était p

primitivement sous la tension , devienne ^gal à 2p sous la tension maxima t, de manière que la flexion par spire

Onadonc i ^Il^^l.= - ^-^P ■ oi3) ^^0 t 1/(2 7rr )« + ;>*

Si c'est dans le sens de l'extension du ressort que P agit , les spires doivent se toucher à Tétat primitif lorsque la tension est nulle, et leur pas est alors égal à 2p; le pas, en grandissant sous l'effort appliqué au ressort , prendra une valeur p quand l'effort sera devenu P et alors la tension de la fibre la plus fatiguée doit atteindre sa valeur maxima t. La flexion par spire sera donc encore égale àp — 2 p et l'on arrive à la même formule (113).

III. Les remarques précédentes nous conduisent à des conséquences importantes au point de vue de la construction des ressorts. Supposons que l'on donne le fil dont on veut faire un ressort , c'est-à-dire les trois quantités p , ^, G ; et de plus l'effort P"^ qui doit produire une déformation totale Y™. Ces données suffisent pour déterminer le rayon r ou le rap-

port —, le pas p ou le rapport -, et le nombre n de spires.

En effet faisons Q = — - et les équations (a) et (&) n® 151 ,

7rp*

( 105) et (113), dans lesquelles nous introduisons la valeur -^ de lo , nous conduisent aux suivantes :

L'équation (6), J^^-^-

" (105)ou(a) ^=^=2^^

" l"a; 2GQ ./„, « ,„

De réquation (A) on déduira la valeur du rayon r du ressort.

y* ^ (C) ^ -.1 *» ♦» 1 pas p " ♦»

« - (B) '^ ^ w de la flexion par spire,

c'est-à-dire de y puisque l = V/(27rr)« -f^* est déterminé du

moment quep et r le sont.

On a ensuite Y = n2/ = n(2? — 2p),

<l'oû n -= - — --

iftf . Applimti«ii« — I. Avec un fil rond de 10 miUim. de diamètre, on veut composer un ressort à hélice cylindrique qui , sous une charge de 314 kil., se comprime de 100 millimètres. La tension ne doit pas dépasser 60 kil. par millimètre carré, et le coeflScient d'élasticité G = 8000kil. par mill. carré.

On trouve d*abord Qe=4kil. par miU. carré et de (A) on déduit

-=7,5 d'où 2r = 75«».

Ensuite t « —, et l'équation (C) donne j) = 23»^ J soit 24n«n.

Enfin p — 2p =5 14 et n = -— - = 7 | spires.

II. Avec un fil carré de 6™/°» de côté , on veut composer un ressort à hélice cylindrique qui , sous une charge de 180^ , se comprime de 30™/i°. La tension ne doit pas dépasser 60>( par mill. carré, et le coefficient d'élasticité G = 8000k.

Pour une section rectangulaire , on a

de même que ci-devant ,

S = 6;i, Q«— et P=2-»/6« + ;i«;

p 3Q SGQ SGQ'

Ontrouve Q = 5, — =s4; 2r = 33°»n»,92 ;

ensuite t = 0,03, ^=1,535, i> = 9,21;

enfin n = = —-— = 9»^ — •

j) — fc 3,21 3

III. Avec une lame rectangulaire dont les dimensions sont b = 10"/™ ,, h «s 1"/" , on fait un ressort cylindrique qui , sous une charge de 40*^ , s'allonge de 51"/". La tension ne doit pas dépasser 30^^ par mill. carré , et le coefficient d'élasticité G » 2000.

On trouve p = 5,025 ; Q = 4 ; — = 2,5 ;