SUR LA MÉTHODE D'INTÉGRATION GRAPHIQUE DE ROSSIN

M. Rossîn, ingénieur de la marine française , avait imaginé , pour son usage personnel , une méthode très simple d'intégration graphique , que M. de Lisleferme vient de faire paraître dans les Annales de la Société scientifique de BrvixeUes. M. Solin a publié un travail semblable , en 1872 , dans les Mémoires de la Société des sciences de Prague, et M. Massau , en 1878, dans les Annales de V Association des ingénieurs sortis des écoles spéciales de Gand, Malgré ces publications antérieures, nous croyons utile d'analyser la note de M. de Lisleferme, à cause de son extrême simplicité.

Étant donnée une courbe ayant pour équation y == /"a? , et représentée graphiquement, il s'agit de trouver, d'une manière graphique aussi, la

courbe intégrale ayant pouré quation Y ^= i fxdx. Pour cela, rempla-

o çons d'abord la première par un polygone à peu près équivalent , inscrit ou circonscrit, ou bien encore intermédiaire entre un polygone inscrit et un polygone circonscrit. L'aire de ce polygone (fig. 84) a'PQ....TN peut être divisée en trapèzes suivant la méthode habituelle ; chacun de ces trapèzes est équivalent à la somme de deux rectangles ayant pour hauteurs respectivement chacune des deux bases du trapèze et pour base la demihauteur de celui-ci. Il est facile de voir que le 2« et le 3<^ rectangles ainsi obtenus ont la même hauteur et peuvent être réunis en un seul ; qu'il en est de même du 4* et du 5« , du 6« et du 7® , et ainsi de suite. Si le polygone substitué à l'aire primitive a n côtés et est subdivisé , par conséquent, en n trapèzes, il sera donc équivalent à la somme de (n |- 1) rectangles ayant respectivement pour hauteurs les ordonnées des (n-|- 1) sommets du polygone.

Soient OaAa', a6B6', ôcCc*, , muNn', ces rectangles, les points

0, a, 6, c, , n étant situés sur Taxe des x\ soient aussi a", 6", c", ,

n", les projections de A, B, G, , N sur la droite UU parallèle à Oa?

et à une distance OU égale à runité(l). Joignons a", 06'', On".

Menons a parallèle à Oa", rencontrant A a en a ; a )3 parallèle à 6",

rencontrant B6 en )3; et ainsi de suite jusque yuiv, parallèle à On'' et

rencontrant Nn en v.

Il est facile de voir que l'ordonnée a a est égale à l'aire du premier

rectangle ,b^èL celle des deux premiers , c y à celle des trois premiers, ,

n V à celle des (n -|- 1) rectangles. Il y a plus , si l'ordonnée rp d'un point p

quelconque du polygone a )9 /* v divise Tun des rectangles ghHh' en

deux parties yrRA', r/iHR, rp est égale à l'aire des rectangles qui précèdent cette ordonnée, plus la portion yrR/i' du rectangle y /i H /i'.

Le polygone a /9y.... yuv est donc le polygone intégral du polygone à angles rentrants a' A 6' B Mn' NnO, Mais les ordonnées de ce polygone a )S 7... .fxif ne donnent l'aire du polygone primitif a' PQ TN,

( 1 ) Le manque de place pour la figure nous a obligé à nous écarter ici un peu du texte de l'auteur.

qu*aux points 0, n , x, t, v, projections de O, P, Q,. ..., T, N sur la

ligne brisée a /S 7 /* v. Ent re ces points , Tordonnée deO«)9y /*v

est évidemment un peu en retard ou en avance sur Taire du polygone P Q ... T N. Donc en traçant une courbe située au-dessus ou au-dessous du polygone Oa/Sy ..../*v, et passant par 0, w, x, ... t, v (par suite, tangente à ce polygone intégral en ces points), on aura une courbe convenable comme intégrale de a' P Q . . . T N , et , approximativement , de y =^fx. Dans sa note parue dans les Annales de la Société scientifique de Bruxelles (6® année, 1882), M. de Lisleferme ajoute : (Voir fig. 85.)

ferfx

Centre de gravité. — La courbe des aires peut être traitée comme la courbe primitive et donne lieu à une nouvelle représentée par à^ / adœ.

[La première intégration a donné a = 1 ydx\. Voici son utilité : proposons-nous de trouver la distance à l'are Oy du centre de gravité de la portion de surface M P. Cette distance étant désignée par g et l'aire par a , on a d'une manière générale

ap == j xydx,

ydx == da^

ou , à cause de

d'où

= I xda = ax — i adx.^ax^b\

Or, si Ton mène la tangente au point b, la sous-tangente sera

db^" a dx

et par suite G = p.

Pour mener cette tangente avec plus (inexactitude, on remarquera qu'elle est parallèle à D.

M^Bieiit d'Inertie. — Nous ne savons plus au juste comment était traitée par Rossin la question du moment d'inertie , mais en se laissant guider par Tesprit de la méthode on reconnaît aisément que ce devait être de la manière suivante :

Construisons la courbe des c, intégrale de celle des h , nous aurons :

= fbdx.

L'expression du moment d'inertie par rapport à Taxe Oy est : 1= I a^ydœ.

Il est facile dô voir que, d'après les relations précédentes, on a successivement :

I = I a^ da = aa^ — 2 1 ax dx

= ax* — 2 / xdb ^ ax* — 2(bx — / bdx

= ax* — 2 6a? -f- 2c, d'où , en posant I = K' a , il vient

K* = a?* — 2— a? 4-2— -ra a b

Désignons les sous-tangentes GP , NP par m et n ; décrivons une circonférence ayant pour centre le point N , et NP pour rayon. On aura : K* = a7* — 2ma?+2m» = (a?— m)*+m(2n — m) = 5f« + GK*'=0K«

Et par suite K = K.

ApplIeAllen. — La méthode de Rossin peut être appliquée avec succès à la recherche du moment de flexion dans une poutre reposant sur deux appuis et chargée d'une manière quelconque. Comme exemple prenons celui de la figure 74.

Rappelons d'abord que le moment de flexion est égal à Taire du diagramme de Teffort tranchant (n^ 80), et traçons, fig. 86, le diagramme

de Teffort tranchant pour la portion AB de la poutre considérée isolément. A cet effet cherchons d'abord les réactions des appuis , en décomposant chaque force donnée P, et P, en deux parallèles appliquées aux appuis suivant la méthode graphique bien connue. Nous obtenons ainsi AN et BO pour représenter des forces égales et opposées aux réactions à la même échelle que CP< représente 1000 kil. et DP,, 3000 kil. Nous traçons le diagramme de Teffort tranchant NQRSTV, dont l'aire est égale au moment de flexion ; c'est donc le polygone intégral du polygone de l'effort tranchant qui sera le diagramme du moment de flexion.

Suivant la méthode de Rossin , à une distance AU prise pour unité , traçons une verticale ; projetons en Q' le point Q , traçons AQ' , et AX sera un côté du polygone intégral cherché. Projetons de même le point S en S' ; traçons AS' et XY parallèle à AS' ; XY sera un second côté du polygone cherché. Continuons de même ; projetons T en T' , traçons AT' et YB sa parallèle qui doit fermer le polygone en B , puisque le moment de flexion à l'extrémité de la poutre doit être nul. Cette propriété fournit un moyen de contrôler les opérations graphiques. Le polygone cherché est donc AXYB.

Au cas où la charge serait uniformément répartie , le diagramme de l'effort tranchant serait une oblique (fig. 40) coupant la poutre en son milieu; celui du moment de flexion,. une parabole que la méthode de Rossin permet de tracer en cherchant un nombre quelconque de ses points.

Dans la fig. 87 , nous avons pris la demi-longueur de la poutre pour unité ; dès lors , l'ordonnée maxima de la parabole est égale à la moitié de la

longueur qui représente la réaction — au point A.

Fig87