SUR LE CALCUL DES COURROIES

Dans la transmission du mouvement circulaire d'un arbre à un autre par une courroie sans fin, l'effort tangentiel à faire se déduit de deux données : le travail à transmettre , N chev. ; la vitesse r™ par seconde de l'axe de la courroie. Q^ étant cet effort circonférentiel , on a

75 N 75N = Qr, d'où Q=

L'effort tangentiel maximum, que la courroie peut transmettre dépend de la tension donnée aux brins pendant le montage , et , en pratique , on fait cette tension suffisante pour que l'effort tangentiel possible reste supérieur à l'effort réel Q à transmettre. De combien? la pratique en dicte les limites convenables. Quoi qu'il en soit , l'effort Q étant à transmettre avec une vitesse v, il en résulte pour le brin conducteur de la courroie une tension qui dépend de la vitesse v. Le but de la présente note est de montrer comment cette tension dépend de la vitesse et de rechercher la vitesse la plus économique, c'est-à-dire celle qui correspond au minimum de poids de la courroie pour la transmission d'un travail donné. La solution de cette question est donnée dans la suite des problèmes que nous allons énoncer et résoudre.

Appelons T*^ la tension qu'il faut donner au brin conducteur d'une courroie pour qu'elle soit en équilibre strict avec la tension t de l'autre brin et la résistance tangentielle Q supposée appliquée au même rayon r^ que les deux autres forces. Nous aurons d'abord

Tr==«r4-Qr ou T = «-fQ; (a)

Ces tensions T et f sont modifiées et augmentées par la vitesse de la courroie, mais leur différence doit toujours rester égale à Q. Nous verrons de combien ci-après. Pour le moment , ne considérant que les tensions T et f

à l'instant de l'équilibre strict, nous cherchons à établir une seconde relation entre T et « et le frottement de la^ courroie sur la poulie. Les deux problèmes suivants servent à résoudre cette question.

Problème I. — Une courroie glisse sur un tambour fixe à hase circulaire; la tension t du brin qui s'enroule est donnée; la tension de Vautre brin, T, est à chercher; on donne à cet effet le coefficient î de

S frottement de la courroie sur la poulie et V angle d!enroulem,ent a = — .

Si le tambour avait une base polygonale, deux côtés consécutifs du polygone faisant entre eux l'angle o» et les tensions étant respectivement t et t -j- dtf on aurait

t -\- dt = t cos <^ -\~ ft sin w.

Ce résultat est applicable à une base circulaire si l'on y substitue d<x. à sin u et l'unité à cos u. Donc

t-\-dt = t{l + fdoc) dt = tfdx T = «/" = «m, où c= 2,71828

Problème II. — Une courroie roule sur une poulie circulaire qui tourne autour de son ctœe. La différence entre les tensions T ett des deiccc brins est telle que la résistance tangentieUe Q est exactement tenue en équilibre. On demande T et t.

Ce cas est ramené à celui du premier problème par les considérations suivantes.

Supposons que la résistance Q^ soit constituée par un poids suspendu à une corde et qu'il s'agit d'élever; qu'un arrêt quelconque empêche la poulie de tourner dans le sens de la chute du poids Q. Passons la courroie sur la poulie él d'abord ne la tendons que fort peu du côté du brin qui s'enroule ; et soit t cette petite tension. Dans cet état de choses , si l'on tire le brin qui se déroule , la courroie glissera sur la poulie qui sera maintenue fixe par le poids Q , tant que la différence T — t = t (m — 1) sera inférieure au poids Q. En augmentant progressivement t , il arrivera un moment où T — t sera égal à Q , et à ce moment il y a équilibre strict.

Deux relations existent ainsi entre T , t et Q :

T — t = Q, T = tm,

d'où l'on déduit

Problème III. — Calculer CeœcèM de tension proveruxnt de la vitesse de la œurroie.

En supposant que la courroie embrasse un arc S , pendant qu'un de ses points passe du commencement à la Un de cet arc , sa vitesse — v change de signe , devient -(- v, ou augmente de 2 v dans un temps que nous nommerons 0. Soient : a>»q la section de la courroie ; ^^ le poids du mètre cube de courroie; ai sera le poids du mètre courant et, par suite, le poids dont la vitesse varie de 2 v dans le temps B sera a ^ t> 0. La force constante capable d'opérer ce changement de vitesse aurait pour intensité

aèvB 2v ^ aiv* - = 2-

il est permis de supposer que cet effort supplémentaire est fourni moitié par chaque brin et qu'ainsi la tension effective des brins en marche est

„ aiv* , aiv*

TH » fH ,

^ m , aSv* ^ 1 , aSv*

ou Q ,H » Q j-H

Problème IV. — CaUnderla section à donner à une courroie pour que sa tension en marche ne dépasse pas K kU, par m. g.

^ m , aSv*

Q ,H = aK,

* 9 Problème T. — Quelle est la vitesse Y à donner pour que la transmission d'un travail déterminé s'opère avec la courroie la plus légère possible,

La solution revient à déterminer la valeur de v qui r«nd a un mini-

N mum ; mais il faut préalablement remplacer Q par 75 — Nous aurons

ainsi

le minimum de a correspond k 3 — = ,

Renuir^iiefl. — Le commerce présente deux genres de courroies en cuir, celles qui sont travaillées à la mesure, celles qui sont travaillées au poids. Pour les premières o = 920 kil. le mètre cube en moyenne ; pour les secondes, II50» Soit 5™"^ l'épaisseur de la courroie simple et 10™™celle de la courroie double. On admet en moyenne que la courroie simple peut travailler à raison de 200 OOOVmq = K ; et la courroie double 170 000. Généralement on fait /"=: 0,28 , de manière que si a = w , on a à peu près /•a = 1 et m = 2,72.

Faisons N = 1 , A = valeur minima de a correspondant à la valeur (6 ) de V. Nous aurons, toutes substitutions faites.

Amq

cette dernière quantité est le poids du mètre courant. Nous pouvons dresser le tableau comparatif ci-dessous relatif à la transmission d'un - cheval dans les conditions les plus économiques.