Prisme ou solide de résistance; état primitif
Soit (fig. 16) une portion de prisme géométrique comprise
FiçM A C
si
entre doux sections normales ABetCD indéfiniment voisines. On décompose ce volume en éléments prismatiques indéfiniment petits dans toutes leurs dimensions , 5^« ,^'^V*- i et ayant leurs arêtes parallèles à celles du prisme que compose leur ensemble. L'un quelconque de ces prismes prend le nom de fibre élémentaire. Une file de fibres élémentaires
55,, 5,5,, 5,55, dans le prolongement Tune de l'autre
tout le long du prisme géométrique donné, constitue une fibre du prisme.
Considérons une section normale CD d'un prisme de résistance , et , dans cette section , les bases de toutes les fibres élémentaires 5, s\,... Supposons que l'on connaisse la quantité spécifique qui donne la mesure de l'élasticité de la matière à chacune de ces bases infinitésimales. Qu'à chacune d'elles on applique, dans le même sens, un effort normal et proportionnel à cette quantité spécifique. On obtiendra par cette opération un ensemble de forces parallèles agissant toutes dans le même sens et par conséquent ayant une résultante unique appliquée en un certain point de la section. Ce point 0, où est appliquée cette résultante unique, se nomme le centre d'élasticité de la section (n<>s 23 et 24).
La fibre élémentaire située au centre d'élasticité de la section porte le nom de fibre élémentaire moyenne ; et la fibre du prisme, qui contient tous les centres d'élasticité des diverses sections , celui de fibre moyenne du prisme.
Les solides, auxquels on donne le nom de prismes de résistance y n'ont pas toujours une forme géométriquement prismatique. Leur forme est , au contraire, très variée, mais toujours soumise à certaines conditions que nous allons faire connaître en définissant le prisme de résistance à Vétai C c' c" i?n*me^//; état purement ec^a/,
^9^^^' K — i.«i. — i V pour lequel on suppose qu'au-
l cune force extérieure, pas
T"^ même la pesanteur, n'agit sur \ le solide; o h"'T"~ Soit AB (fig. 17) une courbe
ne présentant ni jarret ni point multiple ; plane ou à double
courbure , pourvu que la seconde courbure soit très-faible en tous les points. Imaginons la série de tous ses plans nor maux CD, CD'...., et, sur chacun de ces plans, traçons une figure assujettie aux conditions suivantes : 1° d'avoir son centre d'élasticité sur la courbe AB ; 2° d'avoir des dimensions très petites comparativement au rayon de courbure de la ligne AB au point où elle rencontre chaque section ; 3° de ne varier de forme et de dimensions d'une section à la suivante que d'une manière continue et très lente. Le solide ainsi engendré et supposé n'être soumis à aucune force extérieure, constitue ce que l'on appelle un py^sme de résistance à Vétat primitif,
4ît. Lorsqu'un tel prisme est soumis à des forces extérieures, il naît dans son intérieur des forces moléculaires que Ton peut évaluer au moyen du principe suivant, simple application de ce qui précède.
Principe. — Bans tout prisme de résistance soumis à des forces extérieures, il y a équilibre entre les forces élastiques évoquées dans une section normale quelconque et les forces extérieures appliquées dans toute la région comprise entre cette section et l'une des extrémités de la pièce.
43. Convention§ sar la natore des déformations. — Si les forces extérieures dont il est question dans le principe précédent, sont réductibles à une résultante unique, les forces moléculaires développées dans la section normale le sont également. Et, dans ce cas, le point d'application de la résultante unique dans le plan de la section est bien déterminé et il porte le nom de centre des tensions ou des pressions indifféremment. Ce point ne coïncidera pas en général avec le centre d'élasticité ; il conviendra alors de remplacer la résultante unique appliquée au centre des plissions par par une force égale, parallèle, de même sens, appliquée au centre d'élasticité et un couple facile à calculer. Dans tous les cas, la composition des forces extérieures, auxquelles les forces élastiques développées dans la section considérée font
équilibre, ne mènera à rien de plus compliqué que le système d'une force appliquée au centre d'élasticité de la section , et d'un couple. Tel est le système composé de la force R appliquée au centre d'élasticité de la section CD , fig. 18 , et du couple S (représenté par une ligne double).
Fî^
Cela étant , que Ton décompose la force R en deux autres, l'une N normale à la section, l'autre T tangentiellè; et le couple S en deux également, l'un V dont les forces agissent dans le plan de la section, l'autre X dont les forces agissent dans un plan normal à la section. On obtient ainsi deux Ibrces N et T dont le point d'application est au centre d'élasticité , et deux couples que l'on désigne comme suit :
La composante N, normale à la section et appliquée au centre d'élasticité, porte le nom de tension totale.
La composante T, dans le plan de la section et appliquée au centre d'élasticité, porte le nom (^'effort tranehanl.
Le couple X, agissant dans un plan normal à la section , porte le nom de moment de flexion ou moment fléelilssanl.
Le couple V , agissant dans le plan même de la section , porte nom de moment de torsion.
44 Exemple. — Dans Texemple donné, n» 22 (âg. 4), rechercher pour la section d'encastrement la tension totale, TefFort tranchant le moment de flexion et le moment dé torsion.
Solution. N = 8001^ ; T = V 3000* + 2000* = 3606^ ;
cos(T, y) = 0,832 ; cos (T, ^) == — 0,555.
V = 1500'^™ ; X = \/mÔ* +175Ô* = 4250^»» ; cos (X, yj = — 0,471 ; cos (X, ^) = — 0,882.
Le plan du couple X se projette sur le plan des yz suivant une droite qui fait avec Taxe des z un angle dont le cosinus est 0,471 et qui est par conséquent de 61o.55'; et, avec Taxe des y , un angle de 90° + 61®,55' = 1510.55.
(Voir no 32, fig. 12, la recherche du diamètre conjugué à cette direction dans l'ellipse" centrale d'inertie d'une section rectangulaire dont la base est double de la hauteur).
45. Cooveotloo». — l^ Si la tension totale N agissait seule sur la section CD , cette section plane et nonnale à V état primitif resterait encore plane et normale à Vétat déformé et conserverait ses dimensions premières , mais se serait éloignée ou rapprochée de la section voisine CD' suivant la direction des fibres, en restant donc parallèle (h elle-même. Ce genre de déformation prend le nom c^' allongement simple ou de raeeonrelssement simple.
2<> Si V effort tranchant T agissait senl sur la section CD, cette section plane et normale à Vétat primitif resterait encore plane et normale à Vétat déformé et conserverait ses diinensions premières, mais aurait glissé parallèlement à elle-même dans la direction et le sens de T et sans tourner, par un effet comparable à un elsaillement ; genre de déformation qui porte le nom de glissement simple, et pour lequel on suppose que, entre la fibre moyenne à Vétat déformé et la fibre moyenne à V état primitif , il n'y a qu'une différence déposition négligeable.
3<* Si le moment fléchissant X agissait senl sur la section CD , cette section plane et normale à Vétat primitif serait encore plane et normale à Vétat déform£ et conserverait ses dimensions premières , mais aurait tourné autour d'une droite située dans la section, passant par son centre d'élasticité et la divisant en deux régions.
tune où les fibres sont allongées , Vautre où elles sont raccourcies ; déformation qui porte le nom de flexion simple, et pour laquelle on suppose que, entre la fibre moyenne à Vétat primitif et la fibre ^noyenne légèrement courbée, la différence de longueur est négligeable.
4^ Si le moment de torsion V agissait «eni sur la section CD, cette section plane et normale à Vétat primitif serait encore plane et normale à Vétat déformé, et conserverait ses dimensions premières, mais aurait, sans quitter son plan, tourné autour d'un axe perpendiculaire à la section et passant par le centre d'élasticité; déformation qui porte le nom de torsion ^Xm^Xe^ et pour laquelle on suppose que la fibre élémentaire ynoyenne n'a changé ni de grandeur ni déposition,
5° La tension élastique produite par Vwie de ces déformations simples sur une fibre élémentaire quelconque de la section, est supposée avoir la même direction que le déplacement de la base de la fibre,
&^ Le déplacement total ou définitif de la base d'une filyre élémentaire amené par plusieurs de ces déformations simples se produisant simaltanément, se compose de ces déformations simples suivant les mêmes règles que les forces appliquées en un mêyne point. Et la tension élastique définitive produite par plusieurs de ces déformations combinées est la résultante des tensions dues à chacune de ces déformations prise isolément.
40. Ces conventions ne sont acceptables que dans les limites ordinairement admises dans le calcul des dimensions des pièces de machines.
41 . Elles nous conduisent à étudier dans les quatre chapitres suivants les phénomènes d'allongement simple, de cisaillement simple , de flexion simple et de torsion simple ; après quoi nous passerons aux déformations composées.
