EXTENSION OU COMPRESSION SIMPLE

49. Données d^expériences et conventions. — Considérons un solide de résistance (flg. 19) , géométriquement pris- Fiq.19. ï^^^îQ^^* homogène, ayant une longueur L mètres à rétat primitif, et une section S mètres carrés que ^^^^//r Ton suppose invariable malgré l'application d'efforts extérieurs. Après l'avoir fixé solidement à Tune de ses extrémités AB, nous le soumettons, à l'autre extrémité CD, à une tension totale de N kjlog. Sous cette influence, le prisme- s'allonge ou se raccourcit en tout d'une quantité que nous mesurons , et que nous appelons l mètres.

Puisque le prisme est homogène, les allongements produits dans des portions ayant primitivement la ^ "^ même longueur, sont égaux. Par suite, l'allonge- > ryv^ ment par mètre courant

Ce rapport i porte le nom Rallongement 'proportionnel ou de raccourcissement proportionnel suivant le sens dans lequel agit la force N. Dans le dispositif flg. 19, c'est d'un allongement qu'il s'agit. Ce terme peut du reste s'employer d'une manière générale en considérant un raccourcissement comme un allongement négatif, ou inversement.

Puisque la tension totale N^ agit au centre d'élasticité de la section CD et , par conséquent , de toutes les autres , il en résulte qu'elle se répartit uniformément sur toute la section; d'où l'on conclut que, pour chacune des fibres élémentaires , la tension par mètre carré est la même et égale à

Dans l'essai que nous venons de décrire , on mesure, par les moyens connus , les quantités L , S , N et / et Ton en déduit, par le calcul, la tension P kil. par mètre carré et rallongement i par mètre courant.

L'expérience prouve que l'allongement i varie lorsque la tension P des fibres varie. On peut donc se donnor d'avance une série de valeurs de P, et mesurer pour chacune d'elles l'allongement i produit, dresser le diagramme de cette dernière fonction et trouver ainsi la loi suivant laquelle les allongements proportionnels varient avec les tensions des

fibres. A cet eflet soient : /o , /| , e'j les allongements

pris sous les tensions P^, P,, P, traçons les axes OX et

OY , fig. 20 ; sur Taxe des a? et à partir du point , vers la

gauche , portons une longueur ÔÂ pour représenter un mètre et traçons la droite AB parallèle à OY : puis, sur l'axe OX , à la même échelle , et à partir du même point , portons des

longueurs égales à «o , /| Choisissons une échelle pour le«

tensions P et faisons WJ^ = Po, WJ, = P, Les points M

se trouvent sur le diagramme cherché qui peint aux yeux la loi du phénomène.

Il est utile de compléter l'expérience en mesurant aussi les raccourcissements V sous des compressions P', et en construisant le diagramme OM'.

On pourrait rechercher les formules algébriques propres à exprimer avec un certain degré d'exactitude les lois impliquées dans les diagrammes d'allongement et de raccourcissement , et s'aider en cela des prévisions qui naissent de la connaissance préalable de certains faits physiques nécessaires. Par exemple, dans le cas présent, il semble évident que, quelle que soit la compression exercée sur le prisme, on ne peut la pousser jusqu'à en réduire la longueur à zéro. D'où il faut conclure que la droite AB est une asymptote à la courbe de compression.

Mais notre but n'est pas de rechercher les lois physiques de la compression et de l'allongement ; c'est seulement de montrer d'une manière générale ârnis quelles limites on peut étendre les lois vulgairement admises dans l'art de la construction des machines.

40. Quelle que soit la matière sur laquelle on opère, l'expérience prouve : V* que le diagramme d'allongement commence par une portion OD sensiblement rectiligne , et pour laquelle, par conséquent, les allongements croissent proportionnellement aux tensions ; 2° qu'il en est de même pour une portion OD' de la courbe des compressions ; 3<^ que ces deux portions à peu près droites sont dans le prolongement l'une de l'autre et par conséquent appartiennent à une même courbe ; ce qui revient à dire que, entre les limites D etD', la proportion entre les allongements et les efforts d'extension est la même qu'entre les raccourcissements et les efforts de compression; 4<^ qu'en dehors des limites D et D' la courbure des diagrammes devient sensible ; 5<^ qu'enfin la pièce finit toujours par se briser en morceaux, de manière que la continuité du phénomène cesse.

50. Définitions. -^ La tension CD , après laquelle les allongements croissent plus vite que les tensions, porte le nom de coefficient de résistance à Veœtension. Nous l'appellerons R^

La tension CD', après laquelle les raccourcissements croissent moins vite que les compressions, porte le nom de

coefficient de résistance à la compression. Nous rappellerons R'.

51. Remarqae Imporlanle.— Dans la pratique des constructions mécaniques on ne soumet pour ainsi dire jamais une pièce à des tensions supérieures aux coefficients de résistance. Il s'ensuit que la loi de proportionnalité des déformations aux tensions peut être admise pratiquement entre ces limites sans qu'il en résulte d'erreur préjudiciable.

Bien plus les f)raticiens les plus éclairés conseillent de calculer les dimensions des solides de résistance, de façon qu'en aucun point la tension ne puisse dépasser une fraction

— ou — du coefficient de résistance. Ce nombre n a reçu le n n

nom de coefficient de sécurité. Il n'est presque jamais inférieur à 2 , et on le fait quelquefois égal à 20 ; la valeur à adopter dépend de conditions purement pratiques relatives à chaque cas particulier. Il est toujours imprudent d'employer pour n de trop petites valeurs surtout lorsque l'on n'a pas fait d'essais directs sur les matériaux dont on fait usage et que l'on se fie aux renseignements des formulaires. 5ît. Puisque l'on ne pousse jamais la tension que bien en deçà des coefficients de résistance, on peut considérer la loi suivante comme applicable à toutes les constructions mécaniques.

Dans les limites adoptées pour les constructions mécaniques et comprises entre les deux coefficients de résistance , rallongement par mètre courant est proportionnel à la tension par mètr^e carré ; et le coefficient de proportionnalité est le même pour l'extension et la compression.

Cette loi s'exprime analytiquement par l'équation

dans laquelle le coefficient . introduit pour la rendre homogène , porte le nom de coefficient d'élasticité longitudinale., ou module d'élasticité longitudinale.

Si F est exprimé en kil. par mètre carré , il en est de même de E. Nous trouvons très reprochable la définition que l'on

donne quelquefois do ooefflci^ai d'élasticité E : la tension sous laquelle un corps prismatique homogène, soumis à un effort dans la direction de sa longueur , s'allongerait d'une quantité égale à sa longueur primitive, en supposant qu'un tel allongement soit possible. Les limites très resserrées entre lesquelles la loi ci-dessus énoncée est admissible, ne permettent pas d'adopter une telle déOnition, absurde en tout cas lorsqu'il s'agit de compression.

53. ReHMir^Hc. ~ Lorsque l'on veut ùdre connaître la propriété caractéristique d'un corps sous le rapport de son élasticité longitudinale, on donne la valeur du coefficient E pour chacun de ses points. Si le corps est homogène, E est le même pour tous les points.

54. Pr^MèHM Ë,— Étant donnés un priS7ne élémentaire de longtieur primitive L"», de section S"^ , et la tension totale N^ à laquelle sa section CD (fig 21 ), est soumise^ on demande de trouver la tension par mètre carré en un point Quelconque de cette section.

Fig^t

Appelons : s"^ , la section d'une fibre élémentaire quel-

G conque dont l'élasticité est E ; 6, sa tension totale et ^ == -

sa tension par mètre carré cherchée; f , l'allongement proportionnel, le même pour tous les points de la section, (n*> 45,P). En vertu de l'équation (3), n<> 52, ^ = Ee,

d'où 9 = 5^ = 5E/.

Chacun des points de la section CD est donc soumis à une tension 9. Toutes les tensious Q sont parallèles et de même sens; elles ont donc une résultante unique égale à leur somme ,

et dont la droite représentative passe par le centre d'élasticité 0. Cette résultante doit faire équilibre à la tension totale N (n*> 42), et par conséquent doit lui être égale :

N = ilEs, (4)

On en déduit successivement :

La quantité 2 E^ porte le nom de ressort longitudinal de la section. Pour les corps homogènes, elle devient E25

= ES. En ce cas

ftft. Exemple. — La section donnée est carrée et S = O^q^Ol; entre l'un des côtés et son paraUèle l'élasticité va en augmentant uniform 'ment depuis E = 10,000,000,000 k. par mètre carré jusque E, = 30,000,000,000. La tension totale N = 50,000''. On demande t et t.

2E«= fEcdœ= f fE, + Çi:il5îaî\cda?=5l±ËîS=200.000,00Ok.

' - = 0,00025, soit */* millim. par m. courant.

200,000,000 to = 2,500,000 ; ^ = 7,500,000 k. par m. q.

50. Problème II. — Étant donnée la tension totale N^ agissant sur la section considérée d'un prisme homogène, déterminer faire S"»'» qu*il faut donner à cette section pour que la tension ne dépasse pas V^par mètre can^é.

Dans réquation (7) S est la seule inconnue , donc

ft9. Exemples. — I. Une tige de fer soumise à une tension totale de 10,000 kil. doit avoir une section circulaire. Calculer au millimètre près le diamètre qu'il faut lui donner pour que la tension ne dépasse pas 5,000,000 kil. par m. q.

Tre?

d*où d = 0™,051.

II. Un piston de 0™,60 de diamètre est soumis à une pression de 50,000 k. par m. q. Calculer au mill. près le diamètre de sa tige pour qu'elle ne supporte pas plus de 1,000,000 k. par m. q. — On trouve d = 0^,135.

59. Du solide dV^ale résistance à i^exlenslon. — Soit un solide de résistance soumis, en chacune de ses sections normales , à une tension totale dont la grandeur varie d'une section à l'autre , suivant une loi donnée ; on veut que le solide ait une forme et des dimensions telles qu'en aucun point la tension ne dépasse t^ par m. q.

Deux manières se présentent de résoudre la question suivant que Ton veut économiser la main-d'œuvre ou la matière.

A. Pour économiser la main-d'œuvre, on adoptera pour la pièce la forme géométriquement prismatique et on donnera à toutes les sections les mêmes dimensions qu'à celle où la tension totale est la plus grande. A cet effet il convient de tracer le diagramme des tensions totales (flg. 22),

Fi g. 22

en prenant pour axe des x une

direction perpendiculaire aux E sections normales, de telle sorte

que la positiond'unesectionsera ^J^ déterminée par son abscisse.

Aux divers points 0, A, B, C. .

de Taxe on élève des perpendiculaires et, à partir de l'axe, sur chacune d'elles, on porte une longueur proportionnelle à la tension totale correspondante. Le trait continu DMM'E qui relie les extrémités de ces droites est le diagramme des tensions totales. Dans la fig. 22 , on voit que c'est à la section B que se trouve la plus grande tension totale. On calculera donc les dimensions de

cette section d*après le problôme II. Soit BQ~ une hauteur proportionnelle à Taire ainsi déterminée ; les autres , égales, seraient représentées par les ordonnées de la droite F H.

Remarqae et déinitioii. — Supposons que, la pièce ayant été faite prismatique, la loi de variation de la tension totale, représentée par le diagramme DMM'E, subsiste, tandis que sa valeur absolue aille en croissant d'une manière continue. Dès lors la tension par mètre carré ira aussi en augmentant continuellement dans chaque section. Mais Tabscisse du point M' restant invariable , c'est la section située au point B qui sera toigours la plus fatiguée ; si donc on pousse le procédé jusqu'à la rupture de la pièce, selon toute probabilité , c'est à la section B que la rupture se produira. C'est pour cette raison qu'on l'appelle section dangereuse,

B. Si l'on cherche à économiser la matière, on calculera les dimensions des sections successives d'après la formule (8), mais de telle façon que la tension maxima donnée t soit atteinte dans chaque section. Le solide que Ion obtiendra ainsi ne sera plus un prisme géométrique, mais on lui donne le nom de prisme onsolide (T égale résistance à r extension.

5». Problème 111. — Déterminer le solide d^égale résistance à V extension dans les cas suivants, où l'on suppose que la fibre moyenne du solide est rectiligne et que le solide est homogène.

1. La tension totale N, nulle à Vune des extrémités, va en croissant proportionnellement à la distance de là section à cette extrémité. Les sections seront circulaires, on obtiendra donc un solide de révolution ayant pour axe la fibre moyenne.

Fig.23,

l :—. fi

Prenons (fig. 23) pour axe des X la fibre moyenne et pour origine l'extrémité où N = 0.

Appelons y le rayon cherché de la section située h une dis- ^ tance x de l'origine, et R celui

de la section située à la distance l du même point, c'est-àdire à Tautre extrémité de la pièce. On donne

N =px; donc 712/*=^; y*=-^^;

La méridienne du solide est donc une parabole du second degré.

Comme forme approchée et plus facile à exécuter, on peut choisir un tronc de cône engendré par la droite AB touchante en A à la parabole et pour laquelle R = 2r.

2. Même problème, mais la tension totale croît proportionnellement au carré de la distance x.

Solution. Try* ==^aî'; y ^ ±x\i ^ \

7rR« = |-^* ; y=±yaî.

Le solide est un cône de révolution ayant son sommet à Torigine.

Fig.2^. 3. Le solide de révolution est soumis à r une compression Q hiL à sa base supérieure

fî I î .-

et il supporte en outre dans les autres sections le poids de la partie supérieure à raison de d ML par mètre cube (flg. 24).

Solution. Tïp^t = Q + / $Tïy*

dx.

TT r' ^ = Q , d'où la valeur de r .

Différentiant , puis intégrant , on trouve 1 y à

et y^re^' ,

e étant la base des logarithmes népériens.

Exercice. — Même problème, mais la pièce a un creux cylindrique de rayon r' donné.

Fiff.25. 41- Un câble à section rectangulaire ye

*'(flg. 25) est soumis à la section inférie^ire \q à un poids Q'^; 5a section supérieure l'e' supporte en outre le poids du câble à raison de d ML par mètre cube.

Le rapport des dimensions y et z des sections rectangulaires est constant et égal à n. La tension m^aœima donnée est t.

La solution rigoureuse conduit encore à une courbe logarithmique. En pratique , on adopte une solution approximative amplement suffisante en donnant la forme du trapèze aux deux sections longitudinales du câble. A cet effet, on calcule les dimensions ^, e de la section inférieure par Téquation

let^Q,

ou ne'^ = Q;

et celles de la section supérieure, par Téquation

ne^H == Q + -^ n (^'« + ee' + e* ).

La tension V en une section quelconque située à la distance a? de Textrémité inférieure du câble sera donnée par

nzH^ = Q +i£ n (£' + e^ + e'),

ou

Exemple. — On donne Q = 4000>^ ; $ = 1000 k. par m. c. ; n = 8 ;

t = 1,000,000 k. par m. q. ; L = 500"».

On trouve e = 0^,02236 ; / = 0™, 179; ef = 0'»,0288 ; /' = 0'n,230. H est facile de voir que la tension V est la plus petite à la section située à la distance x = 230" du bas. En ce point « = 0«.02532 et V = 984550 k. par m. q. En aucun point du câble la tension n'est supérieure à la tension donnée t,

eO. Sar les déformations. — Problème IV. — Chercher l'extension totale d'un solide de résistance homogène , connaissant la tension totale à chaque section , dans le cas où la fibre moyenne est rectiligne.

Prenant la fibre moyenne pour axe des œ, appelons dx la longueur en mètres d'un prisme élémentaire à Tétat primitif et situé à la distance œ de l'extrémité de la pièce prise pour origine. Appelons £^ la longueur primitive totale du solide et dX rallongement total du prisme élémentaire de longueur primitive dx : rallongement proportionnel pour ce prisme sera

dl ^^ dx'

et, en vertu de l'équation (5) n<* 54 ,

dx ES*

D'où \= l.f ^ dx. (9)

61. ApplicatioiiM. — 1. Dans le cas où ^ et ^ sont constants ,