I. — Fonctions de Jacobi

69. Objet du Chapitre. — Les séries et produits à double entrée employés pour définir les éléments d^ l^, p, Z, H à Taide desquels on peut exprimer toutes les fonctions elliptiques, peuvent être remplacés, aussi bien dans la .notation de M. Weierstrass que dans celle de Jacobi, par des séries à simple entrée beaucoup plus rapidement convergentes.

Nous allons exposer ici les notations de Jacobi : nous avons d'ailleurs montré comment on passe d'un système de notations à l'autre, en donnant la relation entre les fonctions H et a* (n** 40).

70. Périodes. — Nous avons déjà dit que le rapport — des deux

périodes doit être imaginaire, sans quoi le réseau des parallélogrammes n'existerait pas. On peut toujours changer le signe de to ou de 0)', car une fonction admettant pour périodes 2cj et liù' admet aussi pour périodes — aw et liù' par exemple. Nous pouvons donc choisir les signes des périodes de façon que dans le

rapport— le coefficient de i soii positif; c'est là ce que nous

supposerons toujours. Jacobi désigne les périodes par 2 K et 2 iK' ;

dans le cas particulier où K et K' sont réels, le rapport -jr doit

être positif. Nous pourrons employer tantôt l'une tantôt l'autre manière de désigner les périodes : on se rappellera que

to = K, w'=tK'.

Si, dans le cas général, on pose

IZiù'i tcK'

le nombre q a an module plus petit que l'unité, car la partie réelle de Texposant est négative.

71 . Développement en série simple de la fonction Z u. Valeur de o. — La fonction

construite, comme nous l'avons expliqué, avec les périodes 21a et 2cj', a pour pôles simples de résidu + i tous les points

où m et /i prennent toutes les valeurs entières positives, négatives et nulles.

Nous allons construire cette fonction d'une autre manière, en formant, à l'aide d'une série de cotangentes, une fonction ayant les mêmes pôles et les mêmes résidus que Z. Le point de départ de la méthode réside dans ce fait que la fonction

— col — (u — 2/ito )-f- const., •2 to 2 O)

où n est un entier déterminé, a pour pôles simples de résidu +1 tous les points

ou

w = 2/noj -i- 2/ito', (/7i = G, ih î, dz 2, . . ., d: 00).

Considérons la fonction

Un = C0t—^(U — 2/lw') — M,

où n désigne un entier positif; elle admet comme pôles simples, avec le résidu + i , tous les points

u = inoi'-h^moi (/7i = G, ±1, ± 2, . . .).

Cette fonction peut s'écrire

cos — (u — 2/ioi') — isin — (u — 2/ito')

sm — (u — 2/10) )

OU en introduisant la quantité q = e ^ ^

Itui nui

iTz e **** r/'* lie e ^ <?*'»

Cette forme de U,, montre que la série

est convergente, à la façon d'une progression géométrique dont la raison serait q'-.

Considérons de même, en supposant maintenant n entier et négatif, la fonction

\n= — \ COt — (u — 2/10)')-+- i ; 'lUi [ 2 0) J

elle admet comme pôles, avec le résidu + i, tous les points

u = inui'-himtii, m = o, ±1, =fc 2, . . .:

on peut l'écrire

TZtit

et l'on voit que la série

est convergente.

Nous allons vérifier que la fonction

, ^ r TTM V' TU r TT , f\ 1

4>(W)= COt h > COt (M — 2/10)) — {

2 tO 2 (« J^ 2 W L 2 (0 J

-1-7 — COt — (u — inoj')-¥- il jLà lia l i(x}^ J

est identique à Z(m).

D'abord cette fonction <E>(w) est impaire comme Z( m); on le vérifie immédiatement en écrivant la série qui donne <E>( — u) : cette série est égale à — ^(m). La fonction ^( u) a les mêmes pôles et

ITZ '2 0J

les mêmes résidus que 7j(u). Elle satisfait aux relations

^ tu

La première de ces relations est évidente, car chaque cotangente admet la période 2(0; la deuxième se trouve en formant la différence

et remarquant que, dans la différence des deux séries, les termes

se détruisent deux à deux sauf deux termes Considérons alors la fonction

Cette fonction est régulière en tous les points à distance finie, car, dans le voisinage d'un point

Il = '2 inoi -h 1 n w', on a

*(w)= ; -H fonction régulière,

Il — o.nioi — 'inaj

Z(ii)= ; -+- fonction régulière,

et, en retranchant, on voit que ^(w) est régulière au point considéré. En outre, d'après les relations que vérifient ^(w) etZ(z^), on a

Cl) O)

En répétant un raisonnement qui a déjà été fait (n*' 24) on voit que la fonction ^"{11) est une constante et de plus que Ton a

Ainsi

4>(M)=Z(w)-h const.

Cette constante est nulle puisque ^(w) et 7j(ii) sont impaires toutes les deux.

IIO CHAPITRE IV.

En définitive, on a obtenu pour Z(w) le développement

„ , - T: TZU V^ 7C r TU , f . .1

Z(w)= — cot h > — cot — (u — anoi) — il

' 2 0) 2 0) Jmà 2 0) L 2 W ' J

2—^ cot — (u — 2no)' )-+- 1 .

20) L 2to' ^ J

De plus, en se rappelant que Ton a posé 3 == 7^(0' — wV, on voit que l'on a démontré la relation suivante

, ITT

ro) — wr = —

72. Fonction H. — Nous avons déjà défini la fonction H comme une fonction dont la dérivée logarithmique est Z. L'expression simple que nous venons de trouver pour Z va nous donner, par intégration, un produit très convergent servant à définir H. Le problème se pose comme il suit :

Trouver la fonction dont la dérivée logarithmique est

rw / \ ~ TZ II ^%^ 7^ I ^ / A \ • I

L(u)= cot h > cot ( W -f- 2 /l 0) ) -4- i I

2 10 2 tO Md 2 CO [ 2 0) J

-i- y cot (u — 2/10) ) — l\.

Pour écrire le second membre, nous avons, dans une des sommes qui figurent dans Zz^, changé /i en — n. Si Ton intègre entre o et u le terme

on trouve