Déterminer les points d'inflexion de la cubique
en étudiant la variation du coefficient angulaire de la tangente. On trouve pour les déterminer l'équation
p'up'"u—(p''u)^=.o,
ou en posant x = puy l'équation
/(x)=X^—^g2X^—giX—^(^gi\ =0,
dont la dérivée est
Si gt et gi sont réels, cette équation a deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées. Ges racines sont
(2(0 2(ji>'\ /2a) 2a)'\
(») Voir Clebsch (Lindemann), Leçons sur la Géométrie, t. II, p. 38 1.
si on les désigne par a, 6, c, d elles vérifient la relation
qui s'obtient en appliquant les formules (7) et (9) page 62 (S est un invariant de réquation).
7. Étant donnés trois points P, Q, R sur une cubique, déterminer un triangle ABC dont les sommets soient sur la courbe et dont les côtés passent respectivement par les points donnés P, Q, R.
Il y a quatre solutions. Si les trois points P, Q, R sont en ligne droite, les sommets de Tun des triangles sont en ligne droite : il reste seulement trois triangles proprement dits.
8. Si Ton considère une conique ayant deux fois un contact du deuxième ordre (trois points confondus) avec une cubique, la droite qui joint les points de contact va passer par un point d'inflexion.
9. Si Ton considère l'une des trois tangentes menées d'un point d'inflexion le point de contact est tel qu'il existe une conique ayant en ce point avec la cubique un contact du cinquième ordre (six points confondus). Retrouver que le nombre de ces coniques est 27.
10. On mène la tangente à une cubique en un point Pq; soit Pi le point où cette tangente rencontre de nouveau la courbe. On mène la tangente en Pi, soit Pj le point où cette tangente rencontre de nouveau la courbe. On détermine ainsi une suite de points
dont chacun est le tangentiel du précédent. Trouver la condition pour que le contour ayant ces points pour sommets successifs se ferme et forme un polygone de r côtés.
On écrit la relation qui existe entre les paramètres de deux sommets consécutifs et l'on exprime que Pr coïncide avec P©; on trouve que le paramètre de Po doit satisfaire à la condition
Mo =
mais il faut encore examiner si le polygone correspondant à une solution a bien r côtés.
Par exemple, pour r = 3 on trouve parmi les solutions les tangentes d'inflexion comptées trois fois.
