cot — ( «^ — 9-/i0j') — i = -j- Lo<ç I I

Nous avons ainsi les expressions des deux sommes qui entrent dans Z(w).

D'ailleurs

T. d ^ . TZU

cot — ic^ -T- Loff sin — • •2 0) a// 20J

Donc on peut écrire

en posant

où C désigne un facteur constant. On trouve enfin, en effectuant le produit des deux facteurs du terme général,

I — - ig^^ cos h 7*'*

73. Développement de H(u) en série trigonométrlque. — Le produit n qui figure dans l'expression ci-dessus de H(w) peut

être ordonné suivant les puissances positives de cos — : comme

une puissance positive de cos — est égale à une somme de cosinus en une série de la forme

des multiples de — » on voit que le produit II peut être développé

n = Co-+- Cl cos h Cj cos h

Pour avoir H (m) il faut multiplier par Asin — ; on peut, dans le produit obtenu, remplacer chaque terme de la forme

. Tzu mzu sm — cos

par une différence de sinus. On est ainsi conduit pour H(w) à un développement de la forme suivante, où, diaprés les notations de Jacobi, nous faisons co = K, a)'= i¥J :

,,, . . irW . 37UM . , . TZU

H(w) = «0 sin — i7 -h ai sm — 5^ -+-. . .-h an sin(2/i -+- 1) -^ -h. . .,

2IV 2l\ 2xV

ou bien, en remplaçant les sinus par des exponentielles

iizn JiTZn Si 71 m (l/i-M)f 7t/<

H(u)=z Aoe2K f. Aie 2«^ ^A2e"2^»^ -4-...+ A«e «^

lit II 3 I TT H

— Xoe"^ — Aie ^K~....

Pour déterminer Aq, Ai , . . , , on se sert de la formule (26) du n" 21 où l'on remplace S par sa valeur —

iTZlt

H(u-h2iK') = — î-e »^H(w).

On a

H(w-H2fK')= Ao^e^^ + Ai^3/Tr ^ k^q^e^"^ -4-

D'autre part

le" îii H(w)= :5ie— iir|. ^ e-2ir j. :^ e~*K" h ,

__ ùî e — 2^ — -^ e — ïK" —

ETUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOOI. Il3

Identifiant ces deux séries, on a les relations compatibles

Ao---3A,, -A|--A5, ..., - A„, - -^^;^ A,„

qui se réduisent à

Ai = — ^'Ao, A2 = — ^^Ai, ..., Art = — ^2«A;i i, ...,

d'où, en multipliant membre à membre,

A«=(— i)«^«(«+i>Ao.

On a donc

H(M)=Ao2(-i)«^«t«+»a^ -^ J>

= B( sin— rr —q^sm—j:- -4-...-i-(— i)"ûr«(«+i)sin(2/i-f- 1) — =7 -+-

Lé coefficient B peut être choisi arbitrairement, car jusqu'ici H (m) n'a été défini qu'à un facteur constant près. On

prend B = 2^^ et l'on a pour H(w) le développement

,, , ^ ^ . T.n ^ . 3t:u ^,^ . 5Tzn

H(m) = 2<7* sin - — 2âr* sin — ,v -i- 27 * sin — -- -h. . . ^^ -^ 2K ^ 2K ^ 2K

-f-(— i)«27 * sin(2/i -h i)-V' ^ ^ ^ 2K

ou encore

TZU 4/—- . 37r?4 4/ — - . ôt:?^

-, , . i/- . ira 4/— . OTtft 4/— p . JT.U

H(m) = 2\/7 sin -j7 — 2\/âr9 sin — r-^ -h i^q-^ sin — p- -f-. . . ^ ' ^ 2K ^ 2K ^ ?A\

-+- ( — I )''^ 2 Z^' 2 '^ ■+- ^ '• sin ( 2 n -h I ) -~ •

Cette série converge très rapidement, plus rapidement qu'une

progression géométrique, car les exposants de ^* croissent comme les carrés des nombres entiers.

Quand il sera nécessaire d'indiquer les périodes avec lesquelles est construite la fonction H(w) nous écrirons cette fonction H(m|K, îKJ), notation analogue à celle que nous avons employée pour du en écrivant <3'(M|a), w').

Il4 CHAPITRE IV.

74. Fonctions H, Hi, e, 61 de Jacobi. — Nous avons vu que ^u et H(2/) sont analogues à-^sin-^ tandis que pu est analogue à

En Trigonométrie on introduit, en même temps que

sm* —

ces fonctions, celles qu'on en déduit en ajoutant à l'argument u une constante o) égale à la moitié de la période ao), et l'on pose

cos — = sm — iu -H (o).

De même, à côté de la fonction H(w) construite avec les périodes 2 K et 2fK', on considère les fonctions obtenues en ajoutant successivement à l'argument u les demi-périodes K, K' et K-h iK', ou du moins des fonctions qui ne diffèrent de celles-là que par des facteurs exponentiels simples.

En désignant par A l'exponentielle

linéaire en u^ on définit les fonctions H|, 8, 0| par les égalités

e,(w) = iH(a-f-K-f-iK'); les deux dernières montrent immédiatement que

(2) ei(a) = e(«-+-K),

car, si l'on ajoute K à w, X se reproduit multiplié par — 1.

Voici quelques détails sur les expressions de ces fonctions par des séries.

Tout d'abord la formule

Hi(w)=H(?/-4-K) donne, pour définir H|(w), la série

\\,(U)=1\/<I COS—, ->r'î\/q^ C05 — p h... -+- 2 V^<7 '*""*"*' COS^^ p -...,

'^^•iK'' 2K -* 2K

ETUDE SPÉCIALE DES NOTATIONS DE JACOBI. Il5

OU en remplaçant les cosinus par des exponentielles et en remarquant que — (2/î-f-i)=:2 ( — n — i ) -f- i

"*■* (2/14-1)» .. ^, «"ir// "^ K' (2/1-4-1)» ,. . iTZu

On peut encore donner une autre forme à cette série en considérant l'exposant de e qui est du second degré en (2/1 -t-i), comme formé par les deux derniers termes du développement de

7^,[w-4-(2/H-l)lK']î.

On a ainsi

^,l//4-{2/l4-l)lK']«

Passons maintenant à la fonction 0| . On a par définition

e,(w) = -^H(w-4-K-+-iK') = iHi(w-hiK').

Or

-ri/îr-rÈ'^"-+-''i') V^ -..^.,[//4-(2/i4-2)/Kr

H,(^4-.-K0=e-rkK".-K— '^» 2

g»KR'

Dans la nouvelle série le nombre pair (2/1-1-2) prend toutes les valeurs de — ooà -i-oo; on peut le remplacer par 2/1, on trouve alors

ei(w) =e '*^^' V e

7C«» ZlZ 7C , „ .... .

série analogue à celle qui définit H4(w), mais où figure, dans le terme général, un nombre pair 2/1 à la place de (2n -\- i).

Quand on augmente u de iK' les sommes qui figurent dans les expressions de H< ( u) et 0i ( w) s'échangent l'une dans l'autre. Il en est donc de même pour H^ (i^) et 0^ (m), à un facteur près prove-

TZIO

nant de l'accroissement de l'exposant de e '*^^ . On vérifie ainsi les égalités suivantes qui résultent aussi des équations (i)

Il6 CHAPITRE IV.

La série qui définit la fonction 8| (w) peut s'écrire en eflFec tuant

TZn*

la multiplication de chaque terme du second membre par e '*