KK
ei(«)= 2 ^"'^ " '
OU, en associant les termes qui correspondent à deux valeurs de n égales et de signes contraires
^ , ^ Tzu ^ 2.TZU , mzu Si(u) = i-\-2q cos-rj- 4- 2^*cos— =? — h. . .-h 27" COS— rr h. . . .
Enfin, la quatrième fonction S(u) peut se définir au moyen de
l'égalité
e(w) = e,(w-+-K); on a donc
^/ V "ï^w , iTzu , ^ , /lira
0(m) = I — 'xq cos-^ -\-iq^ cos -^ h. . .-i-(— O^û^" cos — rr h. . . .
Il résulte de ces développements que, la fonction H (m) seule est impaire, les trois autres sont paires
H(-w) = -H(m), Hi(-£^) = H,(a),
e(— a)= e(M), ei(— m)= e,(w).
7o. Zéros des fonctions H, Hi, e, Bi. — Les zéros de H(m) sont connus. Ceux des trois autres fonctions s'en déduisent immédiatement d'après les égalités (i) qui définissent ces fonctions à l'aide de H(m).
Les résultats sont donnés par le Tableau suivant dans lequel on a inscrit, en face de chaque fonction, l'expression générale de ses zéros et où m et /i désignent des nombres entiers
II(w), 2mK-t-2wiK',
Hi(w), (2/n -h i)K H- 2/iiK', 6 (m), 2mK -+- (2/1 -t- i)iK',
61 (m), (2/?l-4-l)K-f-(2/2 -i-i)tK'.
76. Formules relatives à l'addition d'une période ou d'une demipériode. — Considérons, en premier lieu, la période 2K et sup-
posons qu'on ajoute cette période à l'argument, on a d'abord
comme cela résulte des développements de Hz/ en série simple ou en produit simplement infini, développements qui ne dépendent
que des sinus et cosinus des multiples de — ^«
Les égalités qui définissent, à l'aide de H, les trois autres fonctions donnent le résultat correspondant pour ces fonctions; on
trouve ainsi
Hi(£4 4-2K)=— Hi(w), e(u-hiK) = e(M),
ei(a-4-2K) = ei(w).
Si l'on ajoute seulement la demi-période K on a d'abord par définition
et, en tenant compte des résultats précédents, on trouve
Hi(a4-K)= — H(m), e,(M-+-K) =e(u).
Réunissons ces formules
H(M-hK) = H, (m), H,(m-{-K)=-H(w),
e(w + K) = ei(M), ei(M-i-K)= e(a).
Considérons maintenant la période 2iK!, Les résultats s'obtiennent aisément pour 0| et H| en se servant des développements
+ ao
