T IC

ei(fc) e(T)

e-i^ smO = — -^- - ' , , — ^ e-'AT.

A l'aide de ces expressions on forme facilement les valeurs des cosinus a, a', a", p, P', P", en fonctions du temps. Il suffit de partir des formules donnant ces cosinus en fonction des angles d'Euler et d'y remplacer ensuite les angles d'Euler par leurs valeurs en fonction de t.

Nous trouverons plus loin ces mêmes cosinus par une autre voie.

Cas de dégénérescence. — La valeur du module est donnée par

Ce module est nul quand A=:B, c'est-à-dire quand l'ellipsoïde d'inertie est de révolution. Les fonctions elliptiques deviennent alors des fonctions circulaires.

Le module est égal à V unité quand D = B : dans ce cas les angles 8, cp, A et les neuf cosinus s'expriment comme il suit : la

fonction 5=snT devient — ou — /tan^^T, et les fonctions cnT

et duT se réduisent à v/i — 5- ou à —• En introduisant un ar-

^ COSiT

gument purement imaginaire ic défini par la relation (5), c'està-dire

lan^ c c(A-B)' C(>s2c G(A~B)'

on remplacera la formule (6) par

ch nC cos*c tangue — tang'tT qui donne, en intégrant et désignant parX la constante^ H-langc,

, V / sin(c -^ 1*:^

9 = AT Log -T— r-^ •

a sin(c — it;

On déduit de là les expressions des neuf cosinus.

129. Herpolhodie. — Dans la représentation du mouvement, d'après Polnsot, la polhodie est une courbe algébrique ; cherchons les équations de V lierpoUiodie ou lieu du pôle m sur le plan fixe (*).

P2n appelant x, y, z les coordonnées du pôle m par rapport aux

axes principaux d'inertie Ojryz, on a, puisque le rapport ^^r — est constant et égal à y/A ou [jl y/D,

Comme/?, y, /• sont des fonctions elliptiques de /, il en est de même de JO,y, z. Les équations d'Euler, dans lesquelles on remplace />, r/, /• par »ruLy/D, j'uiy/D, ^uy/D, donnent

(lo) A-£- -^ ixs/D(C — B)yz= o, B ^ -4- ;jl/D(A — C)5:r r= o, ....

Appelons P la projection du point O sur le plan fixe II, qui contient l'herpolhodie, et désignons par p et -/^ les coordonnées polaires d'un point /?i de la courbe rapportée au point P. Comme