A-D)(B-G) ABC
et to une nouvelle constante arbitraire, représentant l'époquo où g s'annule en croissant. Le module /{^ est moindre que i puisque g'^/'^\ il est égal au rapport anharmonique de A, B, D, C.
Ces formules donnent/?, g, r en fonctions uniformes du temps. En effet, en posant, pour abréger,
l'inversion de l'intégrale elliptique donne
5 = sot;
.•M ; y. AC^ — G) / , /D(D — G)
où [JL est positif et où e', s" sont égaux à ih i .
D'après les propriétés des fonctions sn, en, dn, ces formules montrent que/? et g s'annulent périodiquement, tandis que r ne s'annule jamais.
Si nous supposons ro>o, r reste constamment positif et il faut prendre e"r=i4-i. Alors, d'après la troisième équation (i), on
voit immédiatement que -^ et/? doivent être de signes contraires,
ce qui, d'après la formule
— i — = criT dnT, ax
montre que e'= — i .
Les valeurs de /?, g^ r sont des fonctions périodiques de l et
igô CHAPITRE V.
admettent la période
Quand le temps augmente de cette quantité, p, q, r reprennent les mêmes valeurs ; l'axe instantané de rotation reprend alors sa position primitive dans le corps, mais non dans l'espace, comme nous le verrons plus loin.
Il faut maintenant calculer les trois angles d'Euler en fonction du temps. Pour simplifier le calcul, nous supposerons qu'on ait
Fig. 17.
pris pour axe des Zt la direction invariable de l'axe 0<t du moment résultant des quantités de mouvement. Ecrivons que les projections du segment Oo"= / sur les axes mobiles sont respectivement Afy B(y, Cr, nous aurons
[ l sinO sino = A/?, (4) l / sinO coscp = By,
( / COS0 = Gr;
car les cosinus y, y\ y" des angles de Ox^ Ojk, O^ avec Ozi sont sinQsincp, sinQcoscp et cos9. Ces équations donnent, sans intégration, 6 et cp en fonction de />, ^, r et, par suite, en fonction de t.
Calcul de V angle de précession ^. — On a, d'après les équations du mouvement,
dt ' A2^2^B-^^2
Remplaçons, dans cette expression, p ei q par leurs valeurs (3)
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE SnUy Cil U, dn a. tgj
€t cn^Tpar i — sn^-r; nous avons
d^ liD (B — O — (B- A)sngT az ~ ir A( B — G) — G(B — A) sn2T '
c*c qu'on peut encore écrire, en eflecUiant la division,
^ |jj) [xD (G — A)(B — G )
dz ~ nC "^ /iG A(B — G) — G(B — A)sii2x'
Pour mettre en évidence les pôles de la fonction doublement périodique du second membre, déterminons un argument constant ic vérifiant la relation
comme A > B, la valeur de sn ic est purement imaginaire : on peut donc prendre, pour l'argument ic, une valeur purement imaginaire, et, par suite, pour c, une valeur réelle. Nous pourrons alors écrire
d^__lxD [xD (G — A)rB — G) I
d-z nC nC G(B — A) sn^ ic — sn^x
D'après les relations élémentaires qui lient les fonctions sn, en, dn d'un même argument, on tire de (5)
Extrayant les racines carrées et tenant compte de la valeur de n,
on trouve
[jlD (G — A)(B— G)
i sn ic en ic dn ic =
nC G(B — A)
Il faudrait mettre un double signe devant le deuxième membre, mais, comme on peut changer le signe de ic sans que les relations antérieures soient changées, on peut toujours prendre le signe -h
devant le second membre. L'équation qui donne ■-— s'écrit alors
dx d^ fjL D i sn ic en ic dn ic
dz nC sn^tc — sn^x
Cette expi'cssion est maintenant aisée à intégrer : il suffit pour cela de décomposer le second membre en éléments simples. Or,
nous avons établi, dans le n° 100, la formule
2snacnaclna , v r,, , S'(a) — = Z(m — a) — Z(M-+-a)-h2
On a donc, en faisant a = ic, w = t, et désignant par À la constante réelle ^ — f' . »
c^T ' 2 ll(i:c — t) 2 ll(fC-4-':;
Intégrant et supposant les axes choisis de telle façon que 'v s^annule avec t, on a enfin
Les trois angles 0, cp, ^ sont ainsi exprimés en fonction du temps, et Ton peut déterminer la position du corps à un instant quelconque. Les sinus et cosinus de ces trois angles s'expriment par des fonctions du temps qui sont ou uniformes ou racines carrées de fonctions uniformes. Mais il est très remarquable, comme Ta montré Jacobî, que les neuf cosinus a, P, y, a', P', y^ a", p", y'' sont des fonctions uniformes du temps. Ce résultat peut s'établir comme il suit. Les formules (4) donnent déjà y, y', y" en fonction uniforme de t. On en conclut
ou, en remplaçant/?- et q- par leurs valeurs,
D'après l'expression du module A- et les formules définissant sn-/c, cn^/c, dn-/c, on peut écrire
sinO = -; — ^v^sii^T — sii^/c.
dnfc
Mais on a obtenu la formule (n"" 100)
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn U, CRU, dn^^. I99
en y remplaçant a par t et m par ic, et remarquant que, par déii-
tion, dnic = ^ , ^, . , et \l k = —r— r' O" trouve
' e,(o) e(ic) ^ 61(0)
D'autre part, l'expression (^) donne
donc
