GA(A — G
-^(pî-^),
Fi
Mg. lô.
Nous avons supposé A^>B>C et D compris entre Bet C; alors A est négatif, et l'on a a ]> o, 6^0, c<;o. Donc z- est essentiellement positif et ne s'annule jamais, ce qui est d'accord avec le fait que r ne s'annule jamais. Pour que x- et j'^ soient positifs, il faut que p2 — a soit positif et p^ — h négatif : p*-^ oscille donc entre a et b. Ainsi le rayon vecteur de l'herpolliodie oscille entre un minimum \ja et un maximum \/6. En différentiant la première des équations (i i), on a
rfp
dx
dy
^ dt dl '^ dt dt
ou, en tenant compte des équations (10).
pg=îxv/D^j.^(
B — G G — A A — B\ fxA/P^jK^^
ABG
celte équation donne enfîn, en remplaçant x^ y^ z par leurs valeurs (la),
(i3) p J = iJLv/ï) v/-7p*- a)(p«"^Â)(7î':^),
équation qui permettrait de retrouver p^ en fonction de t par une fonction elliptique; cette expression de p^ en fonction de ^ nous est déjà connue, puisque x^ y^ z sont des fonctions elliptiques de t.
En appelant y l'angle polaire que fait le rayon Pm de Therpoliiodie avec une direction fixe, on obtient ensuite l'équation
ri4) p2g- = îx(p«-+-E),
^ x: Al- 1 , , (A-D)(B — D)(C — D) , , . ,.
ou b désigne la constante . ^^^ -•> c est-a-dire
— y/ — afccD.
Les deux relations (i3) et (i4) donnent p et y en fonction du temps. L'élimination de dt fournit l'équation différentielle de rherpolhodie
rp2-f-E)rfp
(i5) dy-.
p/jj/— (p2-a)(p-'«— 6)(p2— c)
qui donne y par une quadrature.
Ceci posé, nous allons vérifier que
pe^*^= pcosy-f-ipsiny,
s'exprime en fonction uniforme du temps. On a d'abord immédiatement p- en remplaçant, dans l'équation (12),
y- par sa valeur en fonction du temps
On trouve ainsi
•^ ÎJL2D B(H-C;
(D-G)(A-D) rA B)(D-G) ^ ^ CAD ABC ^'
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Snu, CI) U, dïlU. 2o3
OU bien
en posant
(A — B)D Les relations
donnent ont' et dnt'. Rapprochons les trois résultats suivants
Pour obtenir '^ nous partirons de l'égalité (i4) qui donne et, en remplaçant p^ par sa valeur en fonction de t et dt par —d'z
tH^t^ly^ (A -D)(B- D) I
c?T /i /i D(A — B; sn^T'-sn^p
Décomposons le second membre en éléments simples en nous servant de la formule
2snpcnpdnp__ Q\v) H' jv — 'z) H'iv-^-z) sn«p— sn^T ~" ~ ^ e"(7y "^ H {v —z) "^ H(p -r-z)'
Nous déduirons d'abord des valeurs de sn(^, cnt', dn(^ et ai la relation
sn^.cn^.dn^.^^^[ ^ D(A-B) J ' et nous pourrons ensuite écrire
puis
dz n 0(p) H('t: — p) H('u-i-p;
On déduit de là
V désignant une constante arbitraire.
D'autre part, on a
P =- ABC (sn«x--sn«.),
ou, d'après une formule déjà rappelée,
,___(A — B)(D — G) ej(o) H(t — p)H(t^p) P"~ ÂBG~ ''"Â-"' ~é2(i')BÎ(Ty
On voit alors que o^e-'X est le carré d'une fonction uniforme el Ton obtient
en posant
,,,^ (A-B)(D-G) eUo) k^n^ e»(o)
ABC X-e2(p) Djji* A:e«(p)'
la quantité \/k B(o) est égale à H'(o), comme il résulte de ce que la limite de est i pour u = o : on a donc
in H'(o)
iVô ^(^)
de sorte que, en définitive, riierpolhodie est définie par l'équation
En se reportant aux valeurs de sn^ç;, cn-p», dn^ç; en fonction des données, on voit que l'on a
i<sn2p< L.
D'après cela v — K est [>urement imaginaire. Cette remarque
nous conduit à poser
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn l^, Cn a, dlïU, 'lo'j
et à remplacer ç' par cette valeur dans Téqualion de l'herpolhodîe. Cette équatioQ devient
a est purement imaginaire et X est réel, v est une constante arbitraire réelle.
130. Vitesses de rotation autour des axes fixes. — Un point m de rherpolhoïde et l'extrémité to de la rotation instantanée sont en ligne droite avec le point fixe O et Ton a vu qu'on a
oi = Om^h, où v^/i = [jiv/D|
Si donc, on appelle /?i et Çi les projections de la vitesse angulaire sur les axes fixes O^i, Oyi, on aura
ou bien
C'est à un changement de notation près la formule donnée par M. Hermite {Sur quelques applications des fonctions elliptiques ^ p. 35). L'argument to qui figure dans la formule de M. Hermite et l'argument a employé ici sont liés par la relation
131. Les neuf cosinus déduits de l'équation de l'herpoUiodie. — Comme on l'a déjà remarqué (n° 128), A/?, B^, Cr sont les projections du segment 0<t = /=D[jl sur les axes mobiles. On a donc
d'où
Y = p cnT,
Nous allons d'abord exprimer P, Q et R en fonction de l'argument i^ qui figure dans l'équation de l'herpolliodie. On a
^, B(A- D) rA-B)(D- C) ,
puis l'identité
P» cn»T -+- Q» sn«x -i- R» dn^T = i ,
où Ton lait successivement cn^T= o et dn^T = o, fait connaître R etP; on trouve ainsi
ik , j , dn p ,
ou bien
et, en pensant
de sorte que (n° 129) a est purement imaginaire
^ . H(a)H,('u) ,^ Hi(a)H(T) ,^ e(a)ei(T)
^ *ei(a)e(T)' "^ ei(a)e(T)' "^ eiCaoeCx)*
Pour calculer les autres cosinus nous prendrons comme inconnues
a-f-f-p, a'-+-tp', a"-f-i;5".
Entre ces inconnues, on a les équations linéaires
des deux premières, on déduit
et, en portant ces valeurs dans la dernière équation,
ÉTUDE DES VALEURS RÉELLES DE Sn U, CTiU^ dïlU, 10J
SI Ton lient compte des égalités
A/>=r:/Y, Bq^^lY. Cr=^lY,
on peut écrire cette équation
Y/?-t-y'^-+-yV= jx^ n'
Il reste à exprimer en fonction de a les quantités
ih-k)
,ii^i, „•.■
on peut le faire en se servant des relations suivantes
V D A QR . .snfdnc
P cnp
^ ^ . H(p)e,(i^) ^ . nt(a)e(a) "^'H,(P)e(o 'n(a)e,(a)'
on a ainsi
/i i\ . Hi(a)e(a) VD à/ ""^H(a)e,(a)'
VC ]y~ "*Hi(a)e(a)'
H,(^)e(a)n,CT:)e(T)-+-H(a)ei(a)H(T)e,fT)
ei'(a)eH':)-4-H«(a)Hî(T)
Si l'on divise les deux termes de cette fraction par B^(a)S^('z) et si l'on y introduit les fonctions sn, en, dn, elle devient, à un facteur constant près, égale à cn(T — a) : sa valeur exacte est
e(o)Hi(o)Hi(T-r7)
"^ eî(o)e(x — a)
.?.o8 EXERCICES SUR LE CHAPITRE V. .
et l'égalité qui définit a -+- / ^ peut s'écrire
, .Q e(o)H,(o)n,(T-rz) . H'(o) H,(x — a) .,. ,
En supprimant les facteurs communs, et remarquant que
H'(o) Hi(o) j ' 1 I i ^ /T n
■~-T et ^ / V sont deux quantités égales a uk. on a enfin
et Ton en déduit a' -4- i^', a."^ip".
Réunissons les valeurs des neuf cosinus
ei(a)e(T) *^ ei(a)e(x)
^ ei(aje(T)
Hi(o)H(T--a) ,,^,,
I. Lignes géodésiques de la caténoïde (surface engendrée par la révolution d'une chaînelle autour de sa base).
L'axe de révolution étant pris pour axe 0^ et r désignant le rayon d'un parallèle on a, pour l'équation de la surface,
On trouve que la projection des lignes géodésiques sur le plan des xy a pour équation en coordonnées polaires
b désignant une constante arbitraire et l'angle étant compté à partir de la direction asymptotique.
I** Soit 6 > a. En posant
on a
Donc
M =z snO, r =
sn6
Telle est l'équation de la courbe.
2® Soit ^ < a. En posant
on a
Donc
rfp
a .-sn^^, r- ^.
sn-7 a:
3° Si 6 = a, on est dans un cas de dégénérescence, k = i :
2. Les neuf cosinus qui servent à définir la position relative de deux trièdres trirectangles peuvent s'exprimer en fonction de trois paramètres a, w, \ au moyen des formules suivantes
^ 'ei(a)e,(M)' ^ P e,(a)ei(w)
Hi(a)Ht(a) ^.. .«. e(o)e(a-a) ,
^ ei(a)ei(M)' "^ ^ " ei(a)e,(w)
__ e(a)e(^) «"-4-13^= Hi(o)Hi(^-a)
^ " ei(a)ei(w)' ^ P ei(a)ei(w)
dans lesquelles on suppose i^ et X réels et a purement imaginaire. Il suffît de vérifier
Y(a-htp) -hY'(a'-^^P') -i- f (a^-h ip') =0, (a -h ip)(a - l'P) H- (a' -H iP')(a'— i^') -H (a" -h ip'')(a''- tp") = 2.
(») Greenhill, Fonctions elliptiques, p. i38.
A. ET L. i4
aïO EXERCICES SUR LE CHAPITRE V.
Cela résulte des identités suivantes
eî(a)eî(iO — Hî(a)HÎ(tt).-=e«(a)e»(a) — H*(a)H*(M), • »
H,(o)Hi(w — a)ei(a)ei(a) — ei(o)ei(a — a)Hi(a)Hi(M)
= e(o)e(tt — a)H(a)H(a), e}(o) ei(u — a) ei(w-4-a) = e»(a) e«(a)-4-Hî(a)H}(a), e»(o) e(w — a) e(w-T-a)==e}(a)eî(w) — HÎ(a)Hî(M), Hî(o)Hi(a — rt)Hi(M-T-a) = eî(rt)eî(a)— e«(a) e«(M),
et d'une autre identité qui se déduit de la première de celles-ci en y remplaçant a par o et m par u — a.
3. Vérifier que les valeurs précédentes des neuf cosinus satisfont aux relations
(«'- ip')(a'+ tp') = - t'y' -H »Y, (a"-.-p')(a-4-.-p) =y'y^*Y, (a-,-p)(a'-^,-p')=- Yf +tY,
équivalentes au système suivant
aa'-+- pp' -+- yy' =0» y" = *P' — ?«'•
(D'après cela les deux trièdres dont la position relative est définie à Taidc de ces cosinus ont même disposition.)
FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES.
DISCRIMINANT NÉGATIF.
I. — Le discriminant est négatif. Valeurs réelles de pw et de p'w.
132. Objet de ce paragraphe. — Supposons qu'on ait pris pour périodes primitives d'une fonction pu les quantités imaginaires conjuguées
(1)2 désignant une quantité réelle et Wg une quantité purement imaginaire ; nous allons montrer que les invariants sont réels, que la valeur de la fonction est réelle quand l'argument est réel ou purement imaginaire et nous en déduirons que le discriminant ^2 — ^7^3 ^st négatif.
133. Les invariants sont réels. — Les invariants sont donnés par les égalités
jr^ —."V' l L — V' 1
6o^^~" ^ (amcoi-H 2/IW3)*' 140*^^""-^ (2 /n 0)1 -H 2/1 103)6*
Comme les quantités
2 //l(i>i -h 2 Al (O3, 2ma>3-i- 2n(i>i
sont imaginaires conjuguées, on peut, dans chacune des séries précédentes, associer deux à deux les termes de façon que leur somme soit réelle. Donc les invariants g2 et g^ sont réels.
134. Arguments réels, purement imaginaires, imaginaires conjugués. — Arguments réels. — De même dans la série
2/na>iH- in
0, Li, ±2,
exclus.
si l'on suppose u réel, on peut associer deux à deux les termes de façon que leur somme soit réelle. Donc, pour un argument réel, la valeur de la fonction pu est réelle.
On voit de même que la dérivée
est réelle quand u est réel; elle garde un signe constant quand u varie de o à 0)2, puisqu'elle ne devient ni nulle ni infinie dans cet intervalle, et comme elle est négative pour u positif et très petit, elle est constamment négative quand u varie de o à o>2; J3<^ va constamment en décroissant depuis +00 jusqu'à pwa*
Argument purement imaginaire. — Pour voir si la fonction p{iu) est réelle quand u est réel, remarquons que l'on change seulement le signe de la fonction pu quand on multiplie par i l'argument et les deux périodes. On a donc
j)(m|a>i, 0)3) = — p(tt| ta>,, twa), OÙ
ta>i = 1 * , ta>3 = ? .!
puis, comme on peut toujours changer le signe d'une période,
Pour la fonction du second membre les deux périodes sont imaginaires conjuguées. Si donc u est réel on est ramené au cas déjà étudié.
En prenant les dérivées des deux membres de la relation que nous venons d'obtenir, on trouve
ip'{iu\o)i, wa) = — p'(w| tw,, — iWa).
Les deux égalités précédentes montrent que si u est réel p(^iu\iOi, 103) est réel et p'(m |ii>|, (03) purement imaginaire.
Ces égalités peuvent s'écrire, en mettant en évidence les invariants g2 et g3 au lieu des périodes to^ et tog,
P{i^l ^2, ^3) = — p(w; ^2, —^3), ip'iiu; ^2, ^3) = — p'("; ^2) —^3);
FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 2l3
ces formules résultent de ce que, si l'on remplace par
dans les séries qui donnent g^ et ^3, g^ ne change pas et gz se reproduit multiplié par — i .
Arguments imaginaires conjugués. — A deux valeurs u et Uq imaginaires conjuguées de l'argument correspondent, pour la fonction, deux valeurs knaginaires conjuguées. En effet, on a
Il s'agit de montrer que, si Ton change i en — i dans l'expression de pwoî cette expression se change en pu.
Si l'on change i en — i dans la deuxième série on trouve, en désignant par {Vq la quantité imaginaire conjuguée de fv,
u^'^ 2d L(w-«'o)* wiy
il reste donc à vérifier que l'on a
cela résulte de ce que la quantité imaginaire conjuguée de
est la quantité
et que, dans chacune des sommes précédentes, //i et /i prennent toutes les valeurs entières (pp = o exclus). On peut donc passer de la valeur de pt^ à la valeur de pwo en changeant i en — i\ ces deux valeurs sont imaginaires conjuguées. C'est ce que nous voulions vérifier.
135. Parmi les racines ei, e^, e^, l'une e^ est réelle et les deux autres imaginaires conjuguées. Le discriminant est négatif. — Nous
•Al6 CHAPITRE VI.
formule
u =zr: V -i-a/na>i-h 2/10)3,
m et n étant des nombres entiers.
On conclut de là que, si un argument u rend réelles la fonction p 2/ et sa dérivée p' u, on peut toujours, en ajoutant des périodes, le ramener à être réel et compris entre — w 2 et H- 0)2.
II. — Expression des périodes par des intégrales définies de la forme
NORMALE DE LeGENDRB, DANS LE CAS DU DISCRIMINANT NÉGATIF.
137. Expression des périodes en fonction des invariants. — Les périodes étant, comme plus haut, définies par les égalités
2a>i = a>i — 10',, 2 (i>3 = (Oj -h u)', ,
on a vu que, si u croît de o à (02, pu décroît constamment de -h 00 à ^2. L'équation différentielle à laquelle satisfait la fonction x = pu étant mise sous la forme
, dop
du = ,
on obtient, en faisant croître u de o à 0)2, l'égalité
r* dx
qui donne l'expression de Wg en fonction de ^2 et de g^.
Pour avoir l'expression correspondante de ^ remarquons que si Ton remplace les périodes li^^^ et 20)3 par les suivantes
2K0i= —^ H- KO2,
— liiùi —
ta)2,
il faut remplacer
^2, gt,
par
gZy «2
— y ^2> — gZy —62.
L'égalité précédente devient, par ce changement,
FONCTION p A PERIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 217
Cl)'
138. Les intégrales donnant les valeurs de coj et -4 ramenées à
la forme canonique de Legendre. — L^intégrale qui donne la valeur de (02 peut s'écrire
/•* dx
Faisons le changement de variable
l'intégrale devient
/*" dz
^{z^-^r es— ei)(^»-i- et— e^)
Les quantités e^ — e\ et e^ — ^3 sont imaginaires conjuguées. Posons
e^ — 63= p(cos<}/ -h isiin|^) p > o,
gj — ei = ^{cos^ — tsinij;) o < ij' < i^.
Ayant pris p positif, nous pouvons choisir if entre o et tt, puisque €{ désigne la racine imaginaire pour laquelle le coefficient de i est positif. Le polynôme bicarré qui se trouve sous le radical peut alors s'écrire
il»
de sorte qu'en posant
z = ti/û. sin* -î- = A:?, on a
le coefficient différentiel de la nouvelle intégrale ne fait que changer de signe quand on pose
et que l'on néglige ensuite l'accent. On en déduit
dt
v/(«2^t)2— 4A:fi2
ai8 CHAPITRE VI.
puis
et il n'y a plus qu'à poser
r = sino ou / = tang->
pour obtenir l'égalité
dans laquelle l'intégrale est de la forme normale de Legendre {voir n** iil).
Transformons de même l'intégrale
a>; r^* dx r
dx
e, .- o* c. ^«e. a^(a:-he,)(arH-c,)(ar-i-tf,)
En faisant le changement de variable
X = — ej-+- -3*,
il vient
puis, en introduisant, comme dans ce qui précède, le module et l'argument des quantités imaginaires conjuguées Cs — ea, e^ — e^,
lo; /•- dz
Posons
nous trouverons
z = ti/o, cos* - = k'},
FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 219
et, en tenant compte de Tégalité
/* dt^ n d^
/(i2^i)i 4^;«ii-/ /, - k\^ si
sin'ç
nous obtenons pour -4 une expression de la forme cherchée. Réunissons les deux formules qui viennent d'être démontrées
^W9=l » A:î = sin*-,
îîî^v/-p= r ^ ^? . ;ti« = cos.t
p et <j^ étant définis par les égalités
e, — ^3= p(cos4'-f- tsint}^), p > o, ej— ei= p(cosiJ/ — tsinij;), o < ij' < i^.
Ces dernières intégrales, dans lesquelles on fait
sincp = z,
prennent la forme des intégrales qui donnent K et K' dans le n« 108.
139. Variation du rapport -^- — Des égalités précédentes on déduit
Wj
wi 25
1 v/i-A:',*si
sin'cp
et l'on voit que le rapport —^ augmente constamment quand k\
croît de o à i, car le numérateur augmente et le dénominateur diminue. Ce rapport est égal à zéro pour k\ = o, il est égal à -i-oo pour k'^^ = l'y il passe donc une fois et une fois seulement par une valeur positive donnée quand A'J croît de o à i .
On peut alors vérifier, en se servant des, seules intégrales ci-
dessus, que, si les valeurs de co^ et de -^ sont données, chacune
des racines ej, e2, e^ a une valeur unique. En efiet —r ayant une
valeur positive donnée, k^^ a une valeur unique comprise entre o et I ; ÂTf étant ainsi déterminé, Tégalité qui définit (O2, par exemple,
montre que y/p a une valeur unique, le radical étant pris avec le signe +. Pour passer de là aux valeurs de Ct, ^2? ^3 remarquons que costj^ et sintj^, définis par
sont déterminés sans ambiguïté. Alors les égalités
Si-h ei-he3 = o, Cl — e^= p(cos4; -f- isin^^),
Ci — ei = p(cos4' — t sîik}')
déterminent une valeur unique pour chacune des racines ej, 62, ^3.
ni. — Retour a la fonction p a discriminant positif. Expressions
DES périodes sous LA FORME CANONIQUE DE LeGENDRE.
140. Les intégrales qui définissent les périodes ramenées à la forme canonique de Legendre. — Nous allons ramener à la forme
canonique de Legendre les intégrales qui définissent w et — >
dans le cas où et, ^2, ^3 sont réelles. {Voir n°* 53 et o4). On a d'abord
r^" dx r^^ dx^
tA yj^x^ — gix — g:^ J i>J {x — e^){x — ei){x — ez)
Dans cette intégrale, faisons le changement de variable
^2 ig'^dz
X = ez-\-^y dx — ^— — >
g étant une constante indéterminée; l'élément de l'intégrale
devient
—dz
Dans le produit qui figure sous le radical le premier facteur se
FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUEES. 221
réduira à i — z^, si nous posons
gt=ei—e3,
et le second facteur deviendra alors (i — k^z'^) en posant
ei — ez'
k^ est un nombre positif et plus petit que un : le coefficient différentiel a donc la forme cherchée. En mettant maintenant les nouvelles limites de l'intégrale, nous trouvons
dx
ce qui est la forme cherchée.
Transformons de même l'intégrale
ù^ z*-^' dx r'^" dx ,
en faisant le changement de variable
x2 "^ îî3
l'élément de l'intégrale devient
— dz
sous le radical, le second facteur devient égal à i — z^ û nous posons
et le premier facteur devient alors i — k^^z^ en posant
k'^ est positif et plus petit que i . Nous avons donc
0) /• dz
laa CHAPITRE TI.
Réunissons les deux résultats précédents, en faisant dans les intégrales le changement de variable z = sinf , nous avons
gr=.sJ7^=Tt, kt=?^zi^, j^t^îinîi, ;t«-*-^«=i.
Cl — «8 «1 — «J
On nomme g le multiplicateur^ /: est le module, k^ le module complémentaire .
141. Variation du rapport -;— • — Considérons, maintenant, le rapport
X V^i— -A:*sin*
En raisonnant comme au n° 139 on reconnaît que, si A"^ croît de o
à î, le rapport -:— décroît constamment de -f-oo à o.
D'après cela, on peut encore vérifier qu'il n'y a qu'un seul système de valeurs de k^ et de g pour lequel les intégrales w
et -r prennent des valeurs données, si l'on suppose g positif et k^
pris entre o et i. En effet, le rapport -r— ayant une valeur donnée,
il n'y a pour k^ qu'une seule valeur comprise entre o et i ; A"* étant déterminé, l'égalité qui donne la valeur de ^w, par exemple, donnera pour g une valeur unique.
Les quantités k^ et g étant déterminées, on a immédiatement
La somme de ces quantités donne — 3^3, puis des différences connues Ci — 63, 62 — e^ on déduit et et e^»
FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 223
