IV. — Cas du discriminant négatif. Application géométrique

142. Étude de la courbe x = pu^y = p'Ufy^ = ^x^ — gt^ — gz- — Nous insisterons seulement sur les différences que le cas de A<;o présente avec le cas déjà étudié de A > o.

Si j; et y sont tous deux réels, on peut toujours, en ajoutant •des périodes, ramener l'argument à être réel et compris entre — (O2 et H- (O2 (n° 136). Quand on change «/en — u^ x ne change pas, y change de signe; la courbe est donc symétrique par rapport à Ox et il suffit de faire varier «/ de o à a>2.

Quand u croît de o à (O2, y est négatif, x décroît constamment de -i- 00 à ^2. La tangente au point situé sur O^ est parallèle à Oy\ la direction asymptotique est celle de Oy. On a donc la forme de courbe indiquée par {difig. 19.

Fig. 19.

La courbe n'a pas de points en dehors de la branche infinie, comme cela se présentait dans le cas du discriminant positif.

Tangentes parallèles à Ox, — Les points où la tangente est parallèle kOx sont donnés par l'équation

p''{u) = 6372 — ^j = o, X = pu,

Quand g2 6st négatif, il n'y a pas de points où la tangente soit parallèle kOx,

Quand g2 est positif, les deux valeurs de x qui annulent p'i sont réelles; mais pour qu'à une valeur réelle de x corresponde une valeur réelle dey, il faut que Ton ait

x>et.

Nous avons donc à chercher, en supposant g2'>Oj combien l'équation

1/ u = (jx^ fft= o

a de racines plus grandes que 62 et nous sommes ainsi conduits à substituer €2 à la place de x dans le poljnome entier en x qui donne la valeur de p" u»

Ce polynôme se présente sous une forme plus commode, si l'on dérive par rapport à u les deux membres de l'identité

p'»M = 4(^— ^l)(^ — Ct)(x — 63), Xz=pU,

On trouve, après avoir supprimé le facteur commun jd'm,

" p" u = ( X — ei)(x — 63) -h (x — ei)(x — e^) -h (a? — ei){x — ej),

et la valeur du poljnome pour x ^== €2 est

{e2—ei){e2—e3);

comme les deux facteurs €2 — ^1, ^2 — ^3 sont imaginaires conjugués, le résultat de la substitution est positif. Donc ^2 est supérieur à la plus grande racine ou inférieur à la plus petite, et comme ces deux racines sont de signes contraires, c'est le pi*emier cas qui se présente quand 62 est positif et le second quand e2\est négatif. Le signe de 62 est le même que celui de g^ puisque' l'on ^

gz= eiCzez,

En définitive, pour qu'il existe sur la courbe des points oii la tangente est parallèle à Ox, il faut et il suffît que l'on ait

FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. 225

Dans le cas contraire la courbe présente la forme de \di Jig, 19.

Tangentes menées d'un point P. — Si le point P a pour paramètre t^, les points de contact ont pour paramètres

Comme v est réel et que tù^ et (O3 sont imaginaires conjugués, Uq et Ma sont réels, u^ et Uz imaginaires conjugués.

Ainsi, par un point de la courbe, on ne peut mener que deux tangentes réelles à la courbe.

V. — Discriminant négatif; application au mouvement d'un projectile

DANS UN milieu DONT LA RÉSISTANCE EST PROPORTIONNELLE AU CUBE DE LA VITESSE (*).

143. Équations différentielles et intégrales premières. — Prenons pour origine O la position initiale du projectile, pour direction de l'axe des x^ la direction de la vitesse initiale, pour axe des y la verticale descendante. Soit a l'angle de Ox avec l'horizontale, a étant regardé comme positif quand Ox est au-dessus

de l'horizon : l'anfirle des axes est alors — h a. La résistance de

l'air est une force dirigée en sens inverse de la vitesse, et égale à cv^, V désignant la vitesse, et c une constante.

En désignant par :r ely les coordonnées du mobile, et par s l'arc décrit sur la trajectoire à partir d'une origine fixe, la force due à la résistance du milieu a pour projections sur les axes Ox, Oy

/ds\^dx /dsy dy

^^\di) dl' ~^\di) "S'

ou bien

fdsy dx (ds y dy

'^'^\dt) Tt' ^\dt) Tt'

et les équations du mouvement sont

d^x /dsY ^^

(^) di^=-^'[di) -di'

d^Y / ds\^ dy

(«) Voir Greenhill, Fonctions elliptiques^ traduction de Griess, p. 875. A. ET L. i5

Éliminons entre les équations (i) et (2) les termes qui proviennent de la résistance*, il vient

dx d^y dy d^x dx dt IF ^ di 'dti ~~^di'

d'Y ou bien, en posant jji = ~- ,

^^^ dt dt ^•

D'autre part, en remplaçant, dans Féquation (1), ds par sa valeur tirée de

ds^=dy^ — idy dxsmoL-^- dx^,

nous trouvons

/dx\^ ^"^['dij (f^*— 2fxsina-f-i),

dt^

puis, en tenant compte de l'équation (3),

^ / dx\-^ d^x , , . . d[L

Les deux membres de l'équation (4) sont les dérivées de fonctions qui s'obtiennent immédiatement. Intégrons de o à ^, il vient

en remarquant que, d'après le choix des axes, [Ji = o pour ^ = o. Nous supposerons la vitesse initiale très grande, et nous néglige-

rons le terme - ( ^ ) de sorte que, en posant - = {v^ et

P = [jl3 — 3fJi2 sina + 3 (Ji, on a

dx JL

L'équation (3) donne alors

^dt = ^'^du.,

FONCTION p A PÉRIODES IMAGINAIRES CONJUGUÉES. '227

et, en intégrant,

D'autre part, en remarquant que l'équation (3) peut s'écrire

d^i (dxy dx\dt) ~^'

et en y remplaçant -i- par sa valeur tirée de (5), on trouve