Relation entre les intégrales K et K

TZ

siri^cp(i)

Nous avons déjà remarqué que de l'équation difTérentielie vérifiée par z -= sn(u] k, g)

on déduit

du

= gs/{i-z^){i-k^z^),

gdi

ou bien

dz

On obtiendrait de même

^(l)~ — Kft;,

Sl6 OBAFITIB X.

et en divisant membre à membre ces deax égéixiu on ttimwe

pais, en se reportant à la relation (a') entre les modales,

196. Oaleol de K qoaad k eel donné. — G(meevons^ ^*on applique plusieurs fois la transformation précédentet on tronvort

successivement

puiS| en multipliant membre à membre USates ces égalités^

' K«K<a)(i-*-*(i))(i-h*ct))...(i-4-*(i«),

comme on a

on a aussi, quel que soit n,

ÂT/i est toujours positif; le produit qui est dans le premier membre va donc constamment en croissant quand n croît, et comme il est constamment inférieur à K, il tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. Il en résulte que k^n) tend vers zéro et par

suite que K^„) a pour limite -• On a donc

Cette formule est utile lorsque l'on veut calculer la valeur numérique de K, en supposant k donné. On la met sous une forme plus commode pour les calculs numériques en posant

k = sinô,

TRANSFORMATION DE LANOEN.

ce qui donne, en se reportant à la formule (2),

puis

/:(,)= tangï =sine(i),

on en déduit

et n-A-(i) =

cos* -