TRANSFORMATION DE LANDEN

195. Division par deux de la période 20). — Considérons les fonctions de Jacobi

H(M), Hi(m), e(M), ei(M),

conslruites avec les deux périodes 2(o, 2 tu', et en même temps les fonctions

construites avec les deux périodes (o et ao)'. On a entre ces fonctions les relations suivantes, dans lesquelles A désigne un facteur constant,

I H^al-, co'^ = AH(m)Hi(m),

e(M -, (*>'] = Ae(M) 61(14), •h,(.|J,.') = ah.(«^J)h.(„-^),

La première de ces relations se démontre en remarquant que les fonctions

H^mI^jw'^ et H(m)Hi(m)

ont relativement aux périodes co et 20)' les multiplicateurs définis par les égalités

/(l^H-CO) =:-/(m),

et «dmetteat les oiémea séroi dans on parallélogramme des pé-

riodea ; k rapport de et» deux foue^Bs est donc une coosiante.

Lei trou antres relations se dAdaitent de celle qui donne

Hf^u ~> tri en j changeant SI

196. BelaSiraaBteelMniodnlM et entre leenaOt^pliBilnm. — Soient it et ^ le module et le moltiplicatenr rom^ndant «nx périodes au, ab/; et soient km, g^) le module et le multiplicateur correspondant aux périodes w, a<y.

' On a, d'après la définition du modale et en tetoant couple des rebtions (i),

Hais si, dans les formules du n* 75, relatives A l'addition delà demipériode u, on fait tt=: 1 on trouve

on déduit de là successivement D'après cela

Cette relation peut encore s'écrire

TRANSFORMATION DE LANDEN. 3l5

D'après la définition même du multiplicateur (n® 92), on a

gn) = --=.

La valeur de g^^^ peut s'écrire successivement

^) e(o)ei(o)

et, en remplaçant k^i^ par sa valeur tirée de (2), on trouve entre les multiplicateurs g et g^^) la relation suivante

^ii) = ^(i-+-^')-

A parlir de maintenant nous supposerons les quantités w

et -r réelles.