cp,= 5i°47'32',58 cp2 = 104° o' g", i

o, = io4'*o'o', 14

tan^cps o,6o3 2

tang(çp5— (pi). o,6o3 2

?8 — ?î= io4"o'i',4

On prendra ici comme valeur approchée de lim 2l^ le rapport

Pour exprimer cet angle en parties de rayons on divise le

nombre de secondes par 206264,8

Log 93 600', 19 = 4,971 2767.9 Lo g 206 264', 8 =5, 3i4 4251.3

9,656 85i5.7 Log — =0,072 0073.8

Log F(cp,X:D= 9,728 8589.5 F(çp, X:) = 0,535 6221 pour (p = 30° et k^= •

Remarque, — Lorsque le module est devenu très petit le calcul des modules suivants peut se simplifier. (Voir Bertrand, Calcul intégral, p. 661.)

Division de la période ao> par un nombre impair n En posant avec

Jacobi 3^(a?) = © ( ) vérifier l'identité

où Ton suppose que, ^(x) correspondant aux périodes 20) et aw', ^{x, q^^)

correspond aux périodes — > 20)', et où G désigne un facteur constant.

On peut remarquer que le premier membre d'une part et ^{xx, q^) d'autre part sont deux fonctions qui admettent les mêmes multiplicateurs pour les périodes 2(0, 20)' et qui ont les mêmes zéros dans un parallélogramme des périodes.

On a une vérification intéressante de l'identité précédente en considérant le produit infini qui donne ^{nxy q^), savoir

C^{nx, q^) = (i — iq"' C0S2/ia7 4- q^'^)

X (l — 2^3»c0S2/ia7 -t- q^"){\ — 2 5^5'* COS 2/137 H- ^lO/i). . ,^

et décomposant chaque facteur de ce produit d'après l'identité suivante

3a4 IXÎ1QIGB8 8V1 Ll GHÀMTAB xL

(théorème de Cotes)

pour

r 8s o, If 2} •••) n — I,

oa, ce qai reTient an même puisque n est impair»

— ÏS5 Of If 3f •••> ll~~l»

D'après cette Térification l'identité résulte de ee qae, daas «m prodoit infini absolument convergent, on pent remplacer plasieurs fset^irs par leur produit effectué et réciproquement.

Vérifier la formule

U Cviie constante et n on nombre

impair; de plus ii(x) correspondant aux périodes %m ^ ae»', 9rt(ii#y f ")

correspond aux périodes — > ictt'«

Des formules des deux exercices précédents déduire la mxmmip

/inK^n)a; \ aK aK / 2ic\ 2K F , aie"!

sn ( , A:^'»' ) = Gsn — xsn — (a? h ).».sii — |.r-fr-(/i — i) — h

OÙ l'on suppose que Ar"^ et K^»^ correspondent aux périodes — f 2w' comme A: et K correspondent à 2 a> et 2(0' et où G a la valeur constante

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS OU FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES DE SECONDE ESPÈCE.

200. Définitions* — Dans plusieurs questions de Mécanique et de Physique mathématique, on est conduit à étudier des fonctions uniformes de m, n'admettant à distance finie d'autres singularités que des pôles et se reproduisant multipliées par des constantes u. ou ^' quand on ajoute à u l'une ou l'autre des périodes aw etaw'. L'une quelconque de ces fonctions F (m) vérifie donc deux relations de la forme

F(a-h2(o)= fxF(tt), F(w-t-2U)') = \k'¥{u),

M. Hermite, qui a fait l'étude des fonctions de cette nature {Sur quelques applications des fonctions elliptiques, Gauthier- Villars, i885), leur a donné le nom àe fonctions doublement périodiques de deuxième espèce; ces fonctions se réduisent aux fonctions doublement périodiques ordinaires ou fonctions elliptiques, quand les deux multiplicateurs constants [x et [jl' se réduisent à l'unité. Quand les multiplicateurs (x et a' seront donnés, nous appellerons les fonctions telles que F(«^), fonctions aux multiplicateurs constants *^ et ^] les fonctions elliptiques sont alors des fonctions aux multiplicateurs i et i.

Les relations

F(M-f-2U)) ={jlF(m), F(M-f-2(0') = fx'F(M)

entraînent évidemment la suivante où m et /i sont des entiers positifs, négatifs ou nuls :

F ( a -h 2 m (0 -h 2 /i (o' ) = jx'" jjl''» F ( w ). Il en résulte que, si la fonction F(w) admet un pôle w = a, elle

3l6 GBÀMTAI XI.

admet comme pAles, au même degré de moltiplieiléi tons les points homologaes

a^t^ji tB a -f- a iftM 4* 2ii«i'.

Si le résida relatif au pôle a est A, le résidu relatif an p6le €1»^ est (a^ia'^ A. De méme^ si la fonction F(«) admet nn séro n = 6, elle admet comme zéros, avec le même ordre de mnltipl^té) tons les points homologues.

Exemple. — Voici quelques exemples de ces apuTelles fonctions. Soient A| a et X des constantesi la fonction*

4>t>ir

est une fonction aux multiplicateurs

En effet, les relations fondamentales

donnent les suivantes :

h-jXw

iTra

La théorie du pendule sphérique nous fournit un autre exemple de ce genre de fonctions. Nous avons trouvé, en effet, pour x-\-iy une expression de la forme suivante (p. gS)

cp(w) = A -^ ^ 1 e>«,

A, a, 6, X désignant des constantes. Or, d'après les relations fondamentales

^(a + aa)) = — eîTQ^w+w^o'a,

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 827

cette fonction ^ vérifie les relations

c'est donc une fonction aux multiplicateurs constants

Dans la théorie que nous allons développer, nous supposerons les multiplicateurs [x et (jl' donnés et nous formerons les expressions analytiques des fonctions qui admettent ces multiplicateurs. M. Hermite a indiqué, pour ces fonctions, deux formes principales correspondant aux deux formes fondamentales des fonctions elliptiques.

L'une de ces formes donne la fonction comme le quotient de deux produits de fonctions H ou (S* : elle met en évidence les zéros et les pôles de la fonction. L'autre forme est analogue à la formule de décomposition en éléments simples ; elle met en évidence les pôles et les parties principales correspondantes.

Les seuls éléments analytiques nécessaires pour cette théorie sont les fonctions H ou a*.