I. — DÉCOMPOSITION EN FACTEURS. CONSÉQUENCES

201. Expression générale des fonctions à multiplicateurs constants. — Soit F(m) une fonction aux multiplicateurs constants donnés (x et (x'. Par hypothèse cette fonction n'a d'autres points singuliers que des pôles à distance finie et vérifie les deux équations

( F(M-f-2a)) ={xF(m), ^ l F(a-4-2co') = {i'F(a).

Pour obtenir une première expression de la fonction F(w), remarquons que la fonction particulière

y \ • /.y \ » H(M — fit) "S

3l8 CB4P1TAI XI.

considérée dans le noméro précédent, vérifie les rdations

où

(4) fA=é*Xii, ,A',= é"S

^4-tW

On peut toujours disposer des constantes X et a de façon à faire prendre à ces mnltiplicateurs des valeurs données à l'avance. En effet, |x et [i' étant donnés, on a

( « = -j-C» Log^'-o.' Logj»),

Log|x ajant la même détermination dans les deux équations.

Avec ce choix des constantes X et a, on a, par la formule (a), une fonction particulière /*( a) aux multiplicateurs donnés {& et {&'. Mais alors, si Ton revient à la fonction générale F(ii) aux mêmes multiplicateurs, le quotient

est une fonction elliptique aux périodes 20) et 20)'. En effet, quand u augmente de l'une de ces périodes, F et/ se reproduisent multipliées par le même facteur et <^{u) ne change pas.

On obtient ainsi une première expression générale des fonctions aux multiplicateurs constants [x et ^\ en prenant

F(«) = AeX»î^^^*(„),

les constantes X et a étant déterminées par les relations (5) et <E> (m) désignant une fonction elliptique aux périodes 2to et 2(0'.

202. Décomposition en facteurs. — La formule de décomposition en facteurs se déduit immédiatement de ce résultat. En effet, la fonction elliptique ^{u) peut se mettre sous la forme suivante

PONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 329

^ H(w — ai)H(w — a2;...H(w — ar)^

avec la condition

(7) 6iH- 6j-+-. ..H- 6r= «i-H a2-l-' • •-*- ^z-

La fonction aux multiplicateurs constants (x et ^' peut donc s'écrire

^ ^ ^ ^ H(a) H(m — ai)...H(w — a,.)

Telle est la formule de décomposition en facteurs. Elle conduit aux conséquences suivantes :

1° Une fonction à multiplicateurs constants possède^ dans

un parallélogramme des périodes y autant de zéros que dUn-

Jinis, Gela résulte de ce que, dans la formule (8) ci-dessus, il

entre autant de fonctions H au numérateur qu'au dénominateur.

2° Si l'on considère, d'une part, les zéros, d'autre part les infinis que possède une fonction aux multiplicateurs [x et [x' dans un parallélogramme des périodes, la différence entre la somme de ces zéros et la somme de ces infinis est égale à

-.-(wLogfx'— co'Log(x),

à des multiples des périodes près.

En effet, la fonction F(w) définie par la formule (8) a, dans un parallélogramme des périodes, des infinis homologues des points

et des zéros homologues des points

La différence entre la somme des zéros et celle des infinis est donc

(9) a -h 61 ^- ^2 + •..-+- 6/- — («1+ aj-t-, . .4- ar)~H- 2m (u -h 2/1 oi'; •

33o C84PIT1I XI.

si Ton tient compte de la rehtion

é| -♦- éi -4- ••••>- éf ^ «i -♦- tfi -♦••••-♦- Hi^

et de U valeur ( 5) de a, on Toit qoe la différatce ctmndérée (9) ^t

ce qai démontre le théorème.

Changer les déterminations choisies poor Log|A' et Logfii revient à modifier les entiers m et n. On pourrait, par exemple, choisir les déterminations des deax logarithmes de fii^n à annuler m tin.

Remarque. — Il est évident que la fonction F(ii) donnée par la formule (8) n'admet pas nécessairement, d'une manière ^eerîve, le pôle II == o : car un des zéros 6|, 61» • • m ^r peut être égal i o ou homologue de o. De même, cetle fonction n'admet pas nécessairement le zéro a.

Les deux théorèmes que nous venons d'énoncer admettent la réciproque suivante :

3** Si Von considère une expression de la forme

r^u)-uc H(a — a)H(a — ai)...H(a — flr)

dans laquelle les constantes \ a^ a^^ . . . , «rj b^b\^ . . . , br vérident les deux relations

^ = ^Logîx, (10) .

6 -h 6i-f-.,.4-è;. — (a -t-ai-4-...-t-a,.)= -:- (w Logfx' — w'Logfx),

ITZ

cette expression F (m) définit une fonction aux multiplicateurs (Ji et (Ji'. C'est ce qu'on vérifie immédiatement en partant des relations fondamentales

H(MH-2a>) =— -H(w),

Quand les multiplicateurs [x et ^' sont égaux à i, la fonction

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS CONSTANTS. 33c

F (m) devient une fonction elliptique, et la deuxième des relations (lo) exprime alors le théorème de Liouville (n** 39).

203. Nombre minimum de pôles d'une fonction à multiplicateurs constants. — Nous avons vu qu'une fonction elliptique a, au moins, deux pôles simples ou un pôle double dans un parallélogramme des périodes. Il en est autrement pour les fonctions à multiplicateurs constants.

Quand les multiplicateurs pi et ^ sont quelconques et ne t'érifient pas la relation

(il) --(wLogfx' — 0)' Logfx) = o,

ITZ

pour des déterminations convenables des logarithmes, toute fonction aux multiplicateurs [x et [x' admet au moins un pôle s'mple dans un parallélogramme des périodes.

En effet, si la fonction F(w) donnée par la formule générale (8) n'avait pas de pôles, elle n'aurait pas de zéros, et cette fonction se réduirait à la fonction

dont les multiplicateurs

vérifient la relation (i i) que nous avons écartée.

Il y a donc au moins un pôle. D'ailleurs, il existe des fonctions avec un seul pôle dans un parallélogramme des périodes. Telle est, par exemple, la fonction déjà considérée

où X et a sont déterminés par les équations (5). Cette fonction a, comme pôles, le point a= o et les points homologues. Telle est encore la fonction

33s . GBÂPITBI XI.

OÙ V est ane coosunte qaeleooqne; cette foactioii.idniftt, pAles, le point u ^ f et les puints homolagucs,

904. FoaetloBi ft malt^UiMtaan ipédmx. — Nous dirons que les inuUiplicatears [i. et ^' sont tpiciaux quand iU véTifient i relation de la forme

utLogli'— (•'Loffi"

pour une détermination convenable des l<^ritlinies. Dans ce cas, il existe une fonction partout finie dans on parallélogramnie des périodes et admettant les deux mnlliplicateors : cette fonction est

Ael",

X étant déterminé par les denx relations compatibles

su au'

La fonction la plus ^nérale F( u) anx multiplicateurs spéeianx ja et u' est alors

F(h) = Ab^«(u),

4(u) désignant nut fonction elliptiqae. Une fonction dlîptîque,

non réduite à une coDstante, a au moins deux pâles simples ou un pôle double dans un parallélogramme; donc, si la fonction F(h) ne se réduit pas à une simple exponentielle Ae^", elle admet dans un parallélogramme au moins deux pAles simples ou un pôle double. Telles sont les fonctions

ei«sniu. ei-<'[7.(u-a)~Z{u — b)\,

n. — DÉCOMPOSITION EN ÉLÉHENTS SIMPLES.