F(HH

où N est un entier positif ou négatif. Si nous élevons à la puissance N la fonction E(m) du numéro précédent, nous obtiendrons une fonction

vérifiant les deux relations

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 355

D'après cela le quotient

est une fonction elliptique. On a en effet

Cette fonction elliptique ^ a, dans un parallélogramme des périodes, autant de zéros que de pôles; on peut Técrire (n° 40)

y; ^"^""^HCw — ai)H(M-a2)...H(a — a;,)'

sous la condition

(lo) ai-h «2-1-. .. + «/ = ^iH- 62-h. . .H- ^r»

De cette première expression de la fonction F(u) sous la

forme

on conclut immédiatement les résultats suivants. Nous distinguerons deux cas : 1^ Tentier N est positif; 2° l'entier N est négatif.

219. Cas de N positif. — Si nous posons N= w, m positif, le facteur E'^(w) est une fonclion ne devenant pas infinie et admettant comme zéros d'ordre m le point co et les points homologues. On a alors, en remplaçant E(w) par son expression (6),

rmzni

^ ^ H(a — ai)H(w — «2). • .H(m — • a,.)

11 peut se faire, dans cette expression, que certains des points a<, «2? • • • coïncident avec (o ou soient homologues de (o : il y aurait alors des réductions évidentes. Mais, dans tous les cas, en comptant chaque zéro et chaque pôle avec son degré de multiplicité, on a le théorème suivant :

Si N est égal à un entier positif m, la fonction F(w) a, dans un parallélogramme des périodes^ m, zéros de plus que de pôles. La somme de ces zéros, diminuée de la somme de ces infinis j est congrue à mto. La première partie de ce théorème est évidente d'après la formule (ii); quant à la deuxième, la

6ommc des i.

des infinis, est c

c'eat-à-drre à min tl'aprt>sla rclnlion (ic).

Rëciproquenient, soienl ai , aj. . . . , a,; ^i, ^3, constiiiiie.t vériliunt lu relalioii

c«l uiK- runction vt^nfiant les i-elalions

comme ilrt^siillc des propriclf^s (le la fonclion II.

Fonctions entii:res admettant les nitifiiplicaleurs 1 eie " , — Quand N csl c^gal A au entier positif m, nous venons de voir que U fonclion F a ni zéros tic plus que de pâles : il peut se faire qu'elle n'ait pas de pAles du tout : alors c'est une fonction entière €(«) ajant dans un parallélogramme m zéros

ces fonctions particulières ont pour expressions

«(«)=Be"^H(w-p,)H(«-p,)...H(«-p„), avec la condition

On voit que la fonction entière la plus générale, vériûaut les deux relations

dépend de ;?2 constantes arbitraires B, ^1, ^3, ..., ^m-i : elle est déterminée, à un facteur constant près B, quand on connaît (m — 1) de ces zéros. Nous allons montrer que la fonction entière la plus

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 357

générale vérifiant les relations (12) peut s'exprimer en fonction linéaire et homogène de m fonctions spéciales vérifiant les mêmes relations. Pour cela, remarquons que toute fonction entière admettant la période 2(o peut être représentée par une série de la forme

/! = — eo

dont chaque terme admet la période 20). En désignant toujours

UW'I

par q la quantité e ^ , on a

niz m

m 7Z ni (n — m)TZui

D'après la seconde des relations (12) ces deux séries doivent être identiques. En égalant dans ces séries les coefficients des mêmes

TZHi

puissances de e *** , on a

{i4) A„+;„= A„5r2/t, (/i = o, ±1, zha, ...).

D'après cette relation unique entre les coefficients, on voit que l'on peut prendre arbitrairement Ao, A^, . . ., k^-K et déterminer ensuite tous les coefficients.

Ainsi en faisant successivement /i = o, n=: m^ n=z2,m^ . . . ,

n=z{y — i)/?i, on a

d'où, en multipliant,

<l5) Avm= Ao5rV(v-l)m;

en faisant de même, dans (i4)î ^= — '^î? '^ = — 2 m, ..., n î= — [ji/n et multipliant, on vérifiera que la formule (i5) subsiste pour V négatif. Tous les coefficients Avm sont ainsi exprimés à l'aide de A©. Par un calcul semblable on exprime tous les coefficients Avm+i en fonction de A,, Avm+2 en fonction de A2, , . .,

^i» ciiitPiTkic su.

'^vM+jB-i "o ftmciioii de AjB.,. Oii trouve

Av**—. = A«, gW^II-^H—tlv.

En portimt ce!) valeurs dans le développement de lu fonction cnlikre C(u), on trouve qu'il prend la forme suivante

OÙ Et, £|, . . . dt^signenl les fonctions entières suivantes

Ep(^;=.

Ainsi, comme nous l'avons dit, la fonction entière la plus générale admettant les multiplicateurs i et e " est une fonction linéaire et homogène de m fonctions spéciales E^, E|, .. ., E„,. L'expression de cette fonction contient m constantes arbitraires Âg, A, , ..., An,, dont on peut détermioer les rapports de façon que la fonction (Ê(ii) admette m — i zéros pi, pj, ..., pBi, donnés à l'avance. Ces fonctions Ep s'expriment toutes à l'aide de la première : on a évidemment

D'ailleurs la fonction Eg s'exprime aisément par une fonction de Jacobi. En effet, reprenons la fonction E(m) construite plus

FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 359

haut (n° 217) avec les périodes aw et 2(o'

^=+- ynui

= :^e«<^Hi(w|a>,a)'),

où nous mettons en évidence les périodes ayant servi à construire

Ja fonction H^ . Si dans cette formule on change (o en — > g z= e "

se change en q^ et la série du second membre devient précisément Eo(m). On a donc

mizni