TT
mizui
L'inverse :prT — r de la fonction à étudier est donc une fonction
m TT ui
aux multiplicateurs i et e ^ [m positif), c'est-à-dire une des onctions du numéro précédent. L'inverse =r^ — r peut donc s'écrire
mizui
F(w) H(w — ai)...H(M — a^)
La foDction !''((/) a donc pour expression générale
E'(oi-C»'
-ii,,...Hi«--?;;ri
t^llf H, dans un pHrnlIiilogrammc des périodes, m jnMes de plus que de ïéros, cl la dilTi^rence entre la somme de ces pûlcs el de ces téros est coiij;ruG <i mt-i.
Il Dc peut donc pas exister de foDctions nux multiplicateurs i
de'", n'ayant pas de pAles. Mais il en existe qui n'ont pas de ïi*rofi; ce sont les inverses ■^. — des fonctions sans pôles du nunuSro précédent.
- DÉCOMPOSITION EN ÉlÉXBHTS SUIVI
221. Étude de l'élément simple. — Désignons pur .r variables iodiîpendantcs, par m un entier positif, oL ci la fonction de .r et y définie par la série
ou bien
Cette série est convergente pour toutes les valeurs de ;ï: et y à l'exception de celles qui vérifient la condition
37 —;y = 2 n (u -t- î fi' ùj' (nel n' entiers),
et pour lesquelles un des termes de la série devient infini.
Si l'on considère x comme une constante et y comme variable, la fonction ym{x, y) est une fonction uniforme dey n'ayant à distance finie d'autres points singuliers que des pôles dti premier
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 36l
ordre, à savoir les points
y =^ X — 2/10) — in' oi' \
le résidu relatif au pôle y = ^ est — i, car le seul terme de la série qui devient infini pour y = x est
— cet — (x — y).
Cette fonction vérifie les deux relations suivantes, qui s'établissent aisément :
(19) { »» Tt.y/
Cette fonction y^i de la variable j/- admet donc les multiplicateurs
rmzyi
ï et e ^ : elle a dans un parallélogramme {m -h i) zéros et un pôle homologue de x.
Si Ton considère, au contraire, y comme une constante et x comme variable, il se présente des circonstances entièrement différentes. La fonction ym{^j y) est alors une fonction uniforme de X n'ayant à distance finie d'autres points singuliers que des pôles du premier ordre, à savoir les points
X = y -\- 2. no) -^ in' ui' ;
le résidu de cette fonction relatif au pôle x=y est égal à + i. Elle vérifie d'abord la relation évidente
puis l'équation
/ mit xi
/ X/n(a?-i-20)',7)=e ^ Xm(0^,y)
. I m'KJri \
loi
• (m— DTT.ri
(21) ( -"^e iiT— E,(7)~...
. (m — p)7CJ"i
-^e ^ Ep(^)-...
. izxi TZl
uù les m foDCtioDS Eot Eii ■ - ■■ Em-i s<"i' celles qui out été délÏDies plus haut (D" âl9).
Pour démontrer cette relation fondamentale (ai), remartjuoDS quels série (iS) noua donne
xi wi ■ ■-
ou, en clian^eani /i en n -t- i,
y„(T-^atu-,^)=^ 2 « " ' 9'"'"""^" *' n,.- r , — Si nous l'armons alors la dilTt'rence
X«, (X -.- ni', ^)— e~^ y.™(a:, ^).
nous obtenons une série qaî peut s'écrire
en posant, pour un moment, (23) e~^^^t, 9'"
En effeclnant la division, on a
et en substituant dans la série (22} on voit que cette série se partage en (m -t- i) séries.
La première de ces séries est
c'est-à-dire, d'après la valeur de t,
qmnln-il (in
PONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 363
OU enfin
• rmt.ri TZl
--e - Eo(r).
La deuxième de ces séries est de même
m (n-t-i)'ltyi
c'est-à-dire
TZl
TZl
ou enfin
• {m—l)TZ.ri TZ yi ^^^ mmzyi
Q (o g o> ^ g Cl) qtnnKn—i)-^%n
• (m — Dtc.W TZ l
Ainsi de suite. La (p -+- \f^^^ de ces séries est
(m — p)7CJ"i pTC^i mriTZyi
TZl
^ e <^ ^y'Wïlw— i)-<-2'ïp
OU
- e - Ep(jK).
La dernière ou (m + lyème jg ^^g séries est
TZl 20)
c'est-à-dire
. m TZyi mmzyi
OU enfin
Tzi
Q (ù ^ g 0) ^m«t/i— l)H-î/i/rt
. .^ m{n-hl)izyi ^S e ^ qmn{n-\-\)
Eo(7),
comme on le voit en changeant, dans la dernière \ , n en n — i.
Ce calcul démontre la formule (21).
On a ainsi les propriétés fondamentales de l'élément simple
222. Décomposition en éléments simples dans le cas où N est négatif, N = — w. — Soit F(m) une fonction aux multiplicateurs i
TtiTZlll
el e ^ , m étant positif. Une telle fonction possède au moins m
pôles dans on parallélogramme des période;. Stipposoi ait r pdies simples (r^m) liomolognes dc!> poiitu
etqDe les résidus aux points a, 6, • .., f soicol
Ces pAles et les résidus correspondants sodI lii's par m relations qu'il est aisé de former.
Relations entre Ut pôles et les résidus. — Considéi des m fonctions entières Ep(u) du n' 210 qui aJinetlenl les mul"
tïpUcateors ■ et e
. Le produit
♦(»)=F(«)Ep(ii
est une fonction elliptique aux périodes 3«> et au'. Ea effet, les . deax facteurs admettent séparément la péiiode au et, quand u
croit de 3 b)', le premier &cteur est molûplié pare " ,ledeasièDie
par e " et le produit ne change pas. Cette fonction elliptique a les mêmes pôles que F(u), car le facteur Ep(u) n'a pas de pôles. Le résidu de *{ u) au pôle u = a est A Ep(a), car on a, au voisinage de u ^ a,
F(u)= 1- foDctioD régulière,
Ep(u)=Ep(a)-i-(u-a>E^(o)-..., d'où, en multipliant,
*{«)= — -^- + fonction réguUère.
Les résidus de *(«) relatifs aux autres pôles sont de même BEp(Zt), .. ., LEp(/). La somme des résidus d'une fonction elliptique étant nulle, on a la relation
(.7.i) AEp(ii)-i-BEp(6)-<-...-i-LEp(/) = o.
En attribuant à l'indice p les m valeurs o, i, a, ..., m — i
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 365
(n° 219), on obtient ainsi m relations nécessaires entre les pôles et les résidus de F (m).
Décomposition en éléments simples. — Considérons la différence
(25) W{u)=¥{u)-k-i^,n{u,a)—Bim{u,b) — ,..— hi„t{u,l)\
nous allons montrer que cette différence W est identiquement nulle. Tout d'abord la fonction ^{u) ainsi construite admet les
mizui
.jlîcat.eurs \ eX f
multiplicateurs i et e **^ : on a évidemment
car chaque terme du second membre admet la période 2(0; voyons ce que devient le second membre quand u croît de 2(0' : on a d'abord
m 7C ni
F(M-t-2a>')— e ^ F(w)=o, puis
m "Km
. / m TC ni \ . (m — i)izui . Ttui
m 7C ui
. / jmzui\ . (m — \)TZiii . "Kui
comme il résulte de la relation fondamentale (21) dans laquelle on remplace x par u el y par «, ou 6, . . ., ou /. D'après cela la différence
peut s'écrire
. / m 7t ni \
- — \i^e ^ ;[AEo(a)-hBEo(^») + ...-r-LEo(0],
• (m — \)'Kiii
-—e ^ [AEi(a)-HBE,(6)-h...4-LEi(0],
366 CHAriTIIK Xtt.
celle tlilTérence itnl donc nulle, puistjue chacune des sommes enlre crochets est nulle en vertu dcitreititions (2^) entre les pôles et les réxidun. Aîn» la fonctiou V(») vt^rîfïc les deux relations
{ >r(«-^iM') = B » v(u).
De plus cette fonction W est finie en tous les points à distance linii;; Mv n'n plus de ]iAles. Par exemple, dans le voisinage de u^=a, on d
F(U)= —— — -t- fonoIJun régulière,
X«(", a)= h fonction r^guliùrc,
elles autres fonctions y,„(ti, b), . . ., yni{M, /) sont régulières au
poinl a : dans la combinaison donnant ^'(w), disparaît,
et V(u) est régulière au point o. Elle l'est également aux points b, .,., l cl aux points liomolngnes. En résumé, V(m) eslune fonction stins pâles vérifiant les relations (a6). Mais nous avons vu qu'il n'existe pas de fonctions sans pâles vérifiant ces relations (n" 220) : donc W{u) est identiquemenl nulle el Ton a la formule
qui est la formule de décomposition cherchée, mettant en évidence les pôles de F(«), a, A, . . ., / et les résidus A, B, , . ,, L.
Réciproquement, sia,b, ..., /sont des points arbitraires, non homologues deux à deux, et A, B, . . . , L des constantes vérifiant les relations (24), l'expression (27) définit une fonction aux
multiplicateurs i et e *" admettant comme pôles simples les points a, b, ..., /avec les résidus A, B, ■■■■1^, et leurs homologues.
Remarque. — On obtiendrait cette même formule de décomposition en considérant le produit
comme une fonction de v. Ce produit n(i>) est une fonction ellip-
FONCTIONS A MULTIPLICATEURS EXPONENTIELS. 867
lique aux périodes 2o> et 2o>', car les fonctions de p, F((^) et Xm{U', ^) ont des multiplicateurs inverses; cette fonction U.(i>) admet comme pôles les points homologues de
(; = a, V = b, . . . , p = /, p = M, avec les résidus respectifs
l'expression du dernier de ces résidus résulte de ce que yjn{Uj ^), regardé comme fonction de v^ admet le pôle simple v = u avec le résidu — i (n° 221). En écrivant que la somme des résidus de la fonction elliptique, relatifs aux pôles non homologues, est nulle, on a immédiatement la formule de décomposition (27).
Cas des pôles multiples, — Nous avons écrit la formule de décomposition et les relations entre les pôles et les résidus dans le cas des pôles simples. Si les pôles sont multiples ces formules se généralisent, comme celles que nous avons données (n^^ 26 et 207) pour les fonctions elliptiques et les fonctions à multiplicateurs constants. Bornons-nous à écrire ces formules. Supposons
mizni
que la fonction F( m) aux multiplicateurs i et e ^ admette les pôles a^ b^ . » ,, l avec les parties principales
A Al A«i
B Bi B^i
on aura la formule
