PRÉFACE

Les Traites sur les funclions cllipliqucs imprimés en France sont des Traités complets destinés spécialement aiiv niathémaliciens : la plupart d'entre eux prennent comme ])oint de départ les théorèmes généraux de la théorie des fonctions ; dans tous, Tétude des fonctions elliptiques est envisagée au point de vue le plus général et poussée le plus loin possible (multiplication, division, transformation, équations modulaires, multiplication complexe),

Xous nous sommes proposé de faire un Traité des Fonctions elliptiques, d'un caractère élémentaire, en un seul A olume, contenant les principes essentiels de la Théorie et montrant, par des applications simples, combien ces fonctions sont utiles pour la résolution de certaines questions de Géométrie, de Mécanique et de Physique mathématique.

La Théorie des fonctions elliptiques est comme une Trigonométrie d'un ordre plus élevé; nous nous sommes limités dans notre exposé aux principes fondamentaux; ces principes étant bien conq^ris, les parties plus profondes de la Théorie deviennent facilement accessibles.

Pour r(''(luire au iiiiniinuiii les (Mupniiits à la Théorie des fonctions, nous picnons comme point de départ la notion du développement d'une fonction uniforme par la formule de Taylor; nous ne nous servons pas de la théorie de Cauchy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires. Nous donnons, dans une courte introduction, la définition des

(judijucs Icniies lires de l;i Théorie dos fonctions, qui sont cMnplovés clans rOuvragc.

La Théorie des fondions ralionnelles et des fonctions trii^'ononiétriques est d'abord exposée par les méthodes mêmes (jui sont employées ensuite pour les fonctions elliptiques. Le lecteur voit ainsi, sur des fonctions simples avec lesquelles il est familiarisé, renchaîncment des raisonnements et des théorèmes qu'il rencontrera ensuite pour les fonctions elliptiques.

Les formules principales de la Théorie des fonctions rationnelles d'une variable x se réduisent à deux formules types : une première formule mettant en évidence les valeurs de x, qui rendent la fonction rationnelle /(x-) nulle ou infinie

(jr — a,)(^- — a^). . .(.r — ff„)

puis une deuxième formule, dite de décowposUion en éléments simples, mettant en évidence les points où la fonction devient infinie, et la façon dont elle y devient infinie

/{a:) = Co+ C, J7 4- Go^^-f-. . .-1- G,„.r'" A B L

l'élément simple -— — - est la dérivée de Log(a7 — a).

Les formules principales de la Théorie des fonctions trigonométriques peuvent, de même, se ramener à deux types analogues : une première formule mettant en évidence les points où la fonction devient nulle ou infinie

/•( ^ ) = A e"'-' sin(x-«,)sin(a;-a,)...sin(a;-a„) ^ ■^ ' sln(j7 — by)'s\n{x — b=,). . .%\\i{x — bp)

et une deuxième formule, appelée formule de décomposilioii en cléments simples, mettant en évidence la façon dont la

PRE l'A CE. VII

foiu-lion (levicnl iiifiiiii'

f{jr)=: Co-f- C,e-^' -^ G.e'-^'H- . . . ~ C^.e-'"^' H- C; e---" H- . . . + C; e--"-^'

H- A col(a' — rt)-f- B col(a; — Z>) -h. . . -T- L cot(x — /).

On j)cut remarquer encore que l'élément simple

cot(.r — a) est la dérivée de