I.ogsin ( jr- — a

De même, dans la Théorie des fonctions elliptiques, il existe deux formules fondamentales : i" une formule de décomposition en facteurs

f(.r\~ \ pcx H(a--a,)...H(.r-a„) y(x).Ae H(a--^,,)...H(.r-6j

mettant en évidence les points a,, a.,. . . ., a,^, où la fonction s'annule, et les points b^, h.,, . . ., b,^ où elle devient infinie; •i*^ une formule de décomposition en éléments simples, due à M. Hermite

/(^) = Co— AZ(x — a) -t- . . . ^ LZ(jc — 0

où Télément simple Z(x — a) est égal à

f/Lo^U{jr — a)

La plu})art des calculs sur les fonctions elliptiques sont fondés sur l'emploi de Tune ou de l'autre de ces deux formules : ces calculs se ramènent donc à des règles simples dont il est fait de nombreuses applications.

La Théorie des fonctions elliptiques se complique de la question des notations qui varient d'un Traité à l'autre. Tout d'abord, nous nous sommes interdit rigoureusement d'employer aucune notation nouvelle. Nous avons exposé sinml-

VIII PHKK.VCi:.

tancmenl deux syslèmes de notations qui doivent subsister définitivement : celui de .lacobi, constamment suivi par M. llermite, dans toutes ses recherches, et celui de M.AVeierstrass. Le passade de l'un de ces systèmes à l'autre est aisé : néanmoins, il importe de les conserver tous les deux ; car, suivant les cas, les applications sont plus faciles dans Tun des systèmes que dans rautre. En outre, après avoir lu un Traité élémentaire, le lecteur doit connaître les deux systèmes, afin de pouvoir lire ensuite les Livres ou les Mémoires écrits dans chacun d'eux.

Pour préparer les applications, nous avons étudié avec soin les cas particuliers où les valeurs des fonctions elHptiques sont réelles, les seuls qui puissent se présenter en Mécanique et en Physique.

Chaque Théorie est suivie immédiatement de quelques applications; ainsi l'étude de la fonction p de M. Weierstrass, quand Uune des périodes est réelle et l'autre purement imaginaire, est suivie dapplications à la cubique plane, à la lemniscate, au pendule spliérique, au mouvement d'un corps pesant de révolution suspendu par un point de son axe ; l'étude des fonctions de Jacobi, pour le cas où le module est réel et plus petit que un, est suivie d'applications à la biquadra tique gauche, à la surface des ondes, au pendule simple, à l'élastique plane, à la corde à sauter, aux mouvements à la Poinsot ; l'étude de la fonction p, dans le cas de deux périodes imaginaires conjuguées, est suivie de l'application au mouvement d'un projectile dans un milieu dont la résistance est proportionnelle au cube de la vitesse. Viennent ensuite cjuelques applications au problème de Lamé et au problème de l'élastique plane sous pression normale constante, dont les intégrales, découvertes par M. Maurice Lévy, ont été converties en formules elliptiques par Halphen.

L'Ouvrage se termine par la Théorie des fonctions que

PRKFACE.

M . nonnite a appelées fonctions douhlcmcnl périodiques de dcuxiî'inc ou de troisième espèce, avec applications à Téqualion (le Lamé cl aux équations de M. Picard, et j)ar queUpies notions élémentaires sur les fonctions modulaires qui fournissent rexemplf \r plus siMq)l(' des fonctions fuciisiennes et kleinéennes de M. Poiiicaré. (^oninic jjoiir les fonctions elliptiques, nous donnons pour les fonctions doublement périodi(pies de deuxième espèce deux formes essentielles : décomposition en facteurs et déconqjosition en éléments sinq)les, d'après M. Ilermite; puis nous indiquons, pour les fonctions de troisième espèce, deux formes analogues, en employant lélément simple introduit pai- M. Appdl.

Les principales formules sont résumées dans un Tableau placé à la lin du Volume. Sauf dans Texposé de la transformation de Landen, nous n'avons pas donné de Tables numériques, car, dans la plupart des cas, les séries définissant les fonctions à calculer sont si rapidement convergentes, que les premiers termes suflisent dans les applications. On trouvera des exemples de calculs numériques à la fin du Calcul intégral de M. J. Bertrand et dans les Tables de Iloiiel.

Nous espérons qu'après avoir étudié cet Ouvrage, le lecteur pourra se servir des fonctions elliptiques comme des fonctions trigonométriques. Nous avons choisi des applications aussi variées que possible : on en trouvera d'autres, d'une grande élégance, dans le Traité de M. Greenliill. Quant aux développements théoriques, nous pensons avoir mis le lecteur à même de lire les grands Traités de Briot et Bouquet, d'Halphen, de MM. Tannery et Molk, et de se servir utilement des feuilles de M. Schwarz.

^a^i^, 1- septernbie 1896.

DE LA TIIEOniE DES

NOTIONS PRÉLLMINAIRES.