II.', = 2/;iiOJi-l- 2/?iOJj

dans lesquelles m et /«, /;«, et /?, prennent toutes les valeurs entières positives, négatives ou nulles. Les points w forment les sommets du réseau des parallélogrammes construits avec les périodes 2C0 et 2w'; les points «',, les sommets du réseau analogue construit avec aco, et aw', . Nous allons montrer que ces deux réseaux ont les mêmes sommets, c'est-à-dire que les quantités «', sont, à l'ordre près, identiques aux quantités w.

En effet, chacune des quantités (p, fait partie de la suite des quantités w, comme on le voit, en remplaçant, dans W\, oj, et w', par leurs valeurs (i) en fonction de oj et m' . Inversement, comme ad — bc=^± i chacune des quantités w fait partie de la suite des quantités (v,, comme on le voit, en remplaçant, dans cp, (o et t^' par leurs valeurs (2). Donc, si l'on suppose ad — ^ 6c =± i les quantités tv sont, à l'ordre près, les mêmes que les quantités (v, . Les deux réseaux ont les mêmes sommets.

On peut remarquer, en outre, que les parallélogrammes du premier réseau (2to, aco') sont équivalents en surface à ceux du second (20J,, 20/,). En effet, les tx'ois points

O, .iU), 2to'

sont les sommets d'un triangle qui est la moitié d'un parallélogramme des périodes 20J et 110' . Si l'on fait

co = a -t- i