PÉRIODES ÉQUIVALENTES

SI une fonction F(m) admet les périodes 210, et 1^^i^ on a

F(« H- 2f/a)', — 2^ wi) = F(«).

F ( « — 2 c a>', -+- 2 a ti) 1 ) = F ( « ) ; donc

F(«-^'.uo) = ¥{u).

227. Rapport des périodes. — Nous avons supposé que, dans le rapport des périodes

le coefficient de f est positif. Nous allons démontrer que, dans le rapport

des périodes équivalentes, le coefficient de i est encore positif si

ad — bc ~ ~- i\

il serait au contraire négatif si l'on prenait

ad — 6c = — I.

En effet, soit

oj = a -i- [j /,

on a

le coefficient de i est donc du signe de

«ij — ÇtJ. ,

Soient maintenant

io, = ai+Pii, w'i = a'j H- P'i «:

les relations (i) donnent

a', = aa' -t- 6a, ai = ca'-H(ia,

jjj:=of'j-t-yp, pi — cp-i-ujj.

On voit que

ai^'i — 3,a;=(a3'— 3a')rai/ — 6c),

el si Ion prend ad — bc ^=^ \ ^

donc le coefficient de /, dans

M \ a lo' -\- f}hi az -\- b co| cio' -f- dtM cz -f- d

a également le signe +.

Si l'on avait ad — fcc = — i, le coefficient de i dans t, serait négatif.

228. Réseaux de parallélogranmies formés avec les périodes équivalentes. — Prenons les expressions

w = iniM